Untermannigfaltigkeit zeigen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:46 Di 03.02.2015 | | Autor: | Topologe |
| Aufgabe | Die Funktionen f,g: [mm] \IR^{3} \rightarrow \IR [/mm] seien definiert durch
[mm] f(x,y,z):=x^{2}+xy-y-z, [/mm]
[mm] g(x,y,z):=2x^{2}+3xy-2y-3z.
[/mm]
Man zeige, dass [mm] C:=\{(x,y,z)\in \IR^{3}:f(x,y,z)=g(x,y,z)=0\}
[/mm]
eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit des [mm] \IR^{3} [/mm] ist. |
Ok, also wir haben unsere Abbildung
[mm] f,g=\pmat{ x^{2}+xy-y-z \\ 2x^{2}+3xy-2y-3z }
[/mm]
Die Jacobi-Matrix lautet
[mm] D(f,g)=\pmat{ 2x+y & x-1 & -1 \\ 4x+3y & 3x-2 & -3 }
[/mm]
Man betrachte die letzten beiden Spaltenvektoren. Die Determinante von [mm] \pmat{ x-1 & -1 \\ 3x-2 & -3 } [/mm] ist gleich 1 [mm] \not= [/mm] 0, also linear unabhängig [mm] \Rightarrow [/mm] Rang der Jacobi-Matrix = 2
Also ist C eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit.
Wäre das so ok? 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:24 Di 03.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Die Funktionen f,g: [mm]\IR^{3} \rightarrow \IR[/mm] seien definiert
> durch
>
> [mm]f(x,y,z):=x^{2}+xy-y-z,[/mm]
> [mm]g(x,y,z):=2x^{2}+3xy-2y-3z.[/mm]
>
> Man zeige, dass [mm]C:=\{(x,y,z)\in \IR^{3}:f(x,y,z)=g(x,y,z)=0\}[/mm]
>
> eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit des [mm]\IR^{3}[/mm]
> ist.
> Ok, also wir haben unsere Abbildung
>
> [mm]f,g=\pmat{ x^{2}+xy-y-z \\ 2x^{2}+3xy-2y-3z }[/mm]
>
> Die Jacobi-Matrix lautet
>
> [mm]D(f,g)=\pmat{ 2x+y & x-1 & -1 \\ 4x+3y & 3x-2 & -3 }[/mm]
>
> Man betrachte die letzten beiden Spaltenvektoren. Die
> Determinante von [mm]\pmat{ x-1 & -1 \\ 3x-2 & -3 }[/mm] ist gleich
> 1 [mm]\not=[/mm] 0, also linear unabhängig [mm]\Rightarrow[/mm] Rang der
> Jacobi-Matrix = 2
> Also ist C eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit.
>
> Wäre das so ok?
Ja
FRED
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