Untermannigfaltigkeiten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 Fr 13.07.2007 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Die Funktionen [mm] f,g:\IR^3\to\IR [/mm] seien definiert durch
[mm] f(x,y,z):=x^2+xy-y-z, g(x,y,z):=2x^2+3xy-2y-3z.
[/mm]
Man zeige, dass
[mm] C:=\{(x,y,z)\in\IR^3:f(x,y,z)=g(x,y,z)=0\}
[/mm]
eine [mm] \blue{ein-dimensionale} [/mm] Untermannigfaltigkeit des [mm] \IR^3 [/mm] ist. |
Hi,
ich weiß nicht so recht, wie ich zeige, dass etwas eine Untermannigfaltigkeit ist.
Kann mir vielleicht jemand sagen, was da allgemein zu zeigen ist.
Ich würde das dann gern einmal an dieser Aufgabe probieren.
Danke.
MfG
barsch
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Hallo
der Nachweis hängt ein wenig von den Hilfsmitteln ab, die dir (aus der Vorlesung) zur Verfügung stehen. Am einfachsten ist es, wenn du den "Satz vom regulären Wert" verwenden kannst. (Grob gesagt.: Die Menge, die eine Untermannigfaltigkeit sein soll, ist als Urbild einer geeigneten Funktion darzustellen). Manchmal wird die Untermannigfaltigkeit auch so definiert. Ist dir so was ähnliches bekannt? Siehst du vielleicht dann schon die Lösung? Wenn nicht melde dich noch mal
Gruß Korbinian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:15 Sa 14.07.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
hier hast du die Untermannigfaltigkeit als Nullstellengebilde gegeben. Wenn du nun zeigen kannst, dass der Rang der Funktionalmatrix der Abbildung (f,g) maximal (hier also 2) ist, dann folgt, dass es eine Untermannigfaltigkeit ist. Die Dimension ist dann gegeben durch:
3 (Variablen) - 2 (Rang der Funktionalmatrix) = 1
Du musst also nur eine Funktionalmatrix berechnen und zeigen, dass der Rang 2 ist.
Übrigens: Das ist so eine Art Standart-Verfahren, den wenn man zeigen muss, dass eine Menge eine Untermannigfaltigkeit ist, dann ist sie meistens als Nullstellengebilde gegeben, weil die äquivalenten Definitionen der Untermannigfaltigkeit schlecht zum Nachweisen geeignet sind.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Sa 14.07.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
dank euch zwei, Korbinian und Hund.
Ich glaube die Funktionalmatrix haben wir in diesem Zusammenhang benutzt. Meinst du mit Funktionalmatrix die Jacobi-Matrix?
Weil dann wäre es das Verfahren, was wir in der Vorlesung hatten.
Ich glaube, jetzt ist mir auch klar, was ich bei Untermannigfaltigkeiten zeigen muss.
Danke ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
MfG
barsch
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Hallo barsch,
Es ist die Jacobi-Matrix!
Gruß korbinian
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