Untermannigfaltigkeiten < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:54 Do 24.02.2005 | | Autor: | xharlekin |
Hallo!
Ich habe folgende Frage zu Mannigfaltigkeiten: Nehmen wir einmal an [mm] M \subset \IR^n [/mm] sei eine Untermannigfaltigkeit des [mm] \IR^n[/mm], und [mm] M [/mm]
diffeomorph zu einer Menge [mm] N \in \IR^m[/mm] mit [mm] m
Grüße!
Hans
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:25 Do 24.02.2005 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
> Ich habe folgende Frage zu Mannigfaltigkeiten: Nehmen wir
> einmal an [mm]M \subset \IR^n[/mm] sei eine Untermannigfaltigkeit
> des [mm]\IR^n[/mm], und [mm]M[/mm]
> diffeomorph zu einer Menge [mm]N \in \IR^m[/mm] mit [mm]m
> automatisch eine Untermannigfaltigkeit des [mm]\IR^m [/mm]?
Was verstehst du denn genau unter "M diffeomorph zu eienr Teilmenge des [mm]\IR^m[/mm]"? Mit der Teilraumtopologie alleine wirst du nicht auskommen - denn was soll den darauf differenzierbar bedeuten? Also bleibt dir ja eh nichts anderes übrig, als erstmal mjit Karten lokal die Manigfaltikeit tzu glätten - und bekanntlich liegt dann Mdurch den Diffeomorphismus ja ganz in einem [mm]\IR^d[/mm] - wenn du also jeweils so eien Karte voranstellen kannst, erhälst du wohl einen Diffeomorphismus offener Teilmengem des [mm]\IR^d[/mm]. Das kann man dann wohl für mehr Karten machen und dann sich gegebenenfalls einen Diffeo über die ganze Mgf. basteln - so bettet (iir Ana III c) man auch komapkte Mgf. als Untermgf. ein. (und wäre nett wenn jemand hier nopchmal genau ansetzen kann und vllcht [nur für kmpkte Untermgf.?] das gantze noch ausführt.). Mir fällt gerad auf: wenn die Untermgf.d.dim.ist, wirst du so einen Diffeomophismus natürlich nur in einen [mm]\IR^d[/mm] finden.
Anders sieht es aus, wenn du jeweils die ganze Umgebung mitschleifen willst - dann gehen die Abbildugnen aber nicht in einen kleiner dimensiopnalen Raum - und das dabei die Untermgf. erhalten bleibt, ist klar (als Karten kann man einfach verketten ...)
Aber vielleicht meinst du das auch ganz anders -mach mal ein Bsp.!
SEcki
[hab auf teilweis ebantwortet gelassen, falls anderen noch was einfällt ...]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 Do 24.02.2005 | | Autor: | xharlekin |
Hallo!
Speziell geht es um eine Übungsaufgabe aus Jänich, Vektoranalysis (Aufgabe 5). Da soll man zeigen, dass [mm] S^k \times S^l[/mm], d.h. eine Untermannigfaltigkeit des [mm] \IR^{l+k+2}[/mm] diffeomorph zu einer Untermannigfaltigkeit des [mm] \IR^{l+k+1}[/mm] ist. Nun habe ich gezeigt, dass es eine differenzierbare und umkehrbare Abbildung (deren Umkehrung auch differenzierbar im Sinne der Differenzierbarkeit im Höherdimensionalen ist) zwischen der Untermannigfaltigkeit [mm]M=S^k \times S^l[/mm] und eben jener Menge [mm] N[/mm] gibt. Das heißt diese Abbildung gibt es auch in einer Umgebung der Untermannigfaltigkeit.
Was stimmt, dass ich noch zeigen muss, dass [mm]N[/mm] eine Untermannigfaltigkeit des [mm]\IR^{l+k+1}[/mm] ist. Aber wie soll das gehen? Das genau ist mein Problem.
Meine Intuition sagt mir, dass eine solche Abbildung reicht.
Der einfachste Beispiel ist der dass [mm] $S^1 \times S^1\subset \IR^4$ [/mm] diffeomorph zum Torus im dreidimmensionalen ist.
Grüße!
Hans
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