Untermannigfaltigkeiten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:46 Mi 30.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Sei $g: R [mm] \to R^3$
[/mm]
$t [mm] \to [/mm] (cos(t),sint(t),t)$
Zeigen Sie, dass das Bild von g eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit des [mm] $R^3$ [/mm] ist.
$g' = (-sin(t),cos(t),1) = Rang [mm] \, \,(1)$ [/mm] für alle $t [mm] \in R^3$ [/mm]
folglich gilt die Behauptung
Richtig?
Lg
Nadia
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:34 Do 31.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]g: R \to R^3[/mm]
> [mm]t \to (cos(t),sint(t),t)[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass das Bild von g eine eindimensionale
> Untermannigfaltigkeit des [mm]R^3[/mm] ist.
>
>
> [mm]g' = (-sin(t),cos(t),1) = Rang \, \,(1)[/mm] für alle [mm]t \in R^3[/mm]
> folglich gilt die Behauptung
>
> Richtig?
Die Frage hast Du hier
http://www.matheboard.de/archive/446417/thread.html
am 17.2. 2011 schon gestellt und eine Antwort bekommen !!
FRED
>
>
> Lg
>
> Nadia
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:41 Do 31.03.2011 | | Autor: | pelzig |
> [mm]g' = (-sin(t),cos(t),1) = Rang \, \,(1)[/mm] für alle [mm]t \in R^3[/mm]
> folglich gilt die Behauptung
>
> Richtig?
Das genügt nicht, um zu zeigen dass es sich um eine (eingebettete) UMF handelt, denn alles was du sagst ist, dass [mm]g'(t)\ne 0[/mm] für alle [mm]t\in\IR[/mm], d.h. [mm]g[/mm] ist eine Immersion. Es könnte aber sein dass dieser "Weg", den [mm]g[/mm] beschreibt sich selbst kreuzt oder sich zumindest beliebig nahekommt, sodass du anschaulich soetwas wie eine Acht bzw. 6 bekommst. An letzterem Beispiel siehst du auch, dass selbst die Injektivität von [mm]g[/mm] noch nicht ausreichend ist. Da ich nicht weiß wieviel ihr zur Verfügung habt würde ich dir evtl. empfehlen, einfach Karten zu konstruieren (es genügt hier eine!).
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Do 31.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Oh danke, ich habe meine Frage nicht mehr Gefunden.
Ich verstehe trotzdem was nicht.
Wir haben die die Untermannigfaltigkeit so definiert:
Sei $ U [mm] \subset R^n [/mm] $ offen. Einte Teilmenge $ [mm] M\subset [/mm] U $ ist eine d-dim Untermanigfaltigkeit von U, falls zu Jedem Punkt $ a [mm] \in [/mm] M $ eine Umgebung $ [mm] V\subset [/mm] U $ existiert und eine $ g: V [mm] \to [/mm] R $ mit
1.Dg(x) Rang= n-d
2.$ M [mm] \cap [/mm] V = [mm] \{ x\in \V |g(x)=0\} [/mm] $
Nach dem ich $ g' = (-sin(t),cos(t),1)
gebildet habe, gilt dann $ g(t)' = (-sin(t),cos(t),1) $ hat Rang 1 auf R, aber g' muss Rang 1 auf g.Bild haben, oder nicht?
Das verwirrt mich etwas.
Viele Grüße
Nadia
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 Do 31.03.2011 | | Autor: | pelzig |
> Ich verstehe trotzdem was nicht.
> Wir haben die die Untermannigfaltigkeit so definiert:
> Sei [mm]U \subset R^n[/mm] offen. Einte Teilmenge [mm]M\subset U[/mm] ist
> eine d-dim Untermanigfaltigkeit von U, falls zu Jedem Punkt
> [mm]a \in M[/mm] eine Umgebung [mm]V\subset U[/mm] existiert und eine [mm]g: V \to R[/mm]
> mit
> 1.Dg(x) Rang= n-d
> 2.[mm] M \cap V = \{ x\in V |g(x)=0\}[/mm]
Also erstens sollte da wohl [mm]g:V\to\IR^{n-d}[/mm] gehen und zweitens soll die Rang-Bedingung nicht für irgendein [mm]x[/mm] sondern entweder in ganz [mm]V[/mm] oder zumindest in [mm]a[/mm].
> Nach dem ich $ g' = (-sin(t),cos(t),1)
> gebildet habe, gilt dann [mm]g(t)' = (-sin(t),cos(t),1)[/mm] hat
> Rang 1 auf R, aber g' muss Rang 1 auf g.Bild haben, oder
> nicht? Das verwirrt mich etwas.
Mich verwirrt auch was du da schreibst. Könntest du dich vielleicht etwas klarer ausdrücken und vor allem mal einen richtigen deutschen Satz schreiben? Dieses [mm]g[/mm] was du in der Aufgabe betrachtest hat mit dem [mm]g[/mm] aus eurer Definition von UMF überhaupt nix tu tun, denn das [mm]g[/mm] aus der Aufgabe bildet in den [mm]\IR^n[/mm] ab, wohingegen das [mm]g[/mm] aus der Definition nach [mm]\IR^{n-d}[/mm] geht.
Wie kommst du überhaupt darauf den Rang von [mm]g[/mm] zu betrachten?!
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Do 31.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Ich glaube, ich habe verstanden was du meinst :)
Nochmal mit deutschen Sätzen;)
Mit einer Karte meinst du Wahrscheinlich der Graph der Funktion f(t) = (cos t, sin t), oder?
Falls das der Fall ist, dann ist f(t) die g aus der Vorlesung, stimmt?
und weil f'(t) = (-sin(t),cos(t)) != 0 für alle $t [mm] \in [/mm] R$, ist der Rang der Funktion f = 1, also ist es eine 1 dm Untermannigfaltigkeit des [mm] R^3.
[/mm]
LG
Nadia
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:00 Fr 01.04.2011 | | Autor: | pelzig |
> Mit einer Karte meinst du Wahrscheinlich der Graph der
> Funktion f(t) = (cos t, sin t), oder?
> Falls das der Fall ist, dann ist f(t) die g aus der
> Vorlesung, stimmt?
> und weil f'(t) = (-sin(t),cos(t)) != 0 für alle [mm]t \in R[/mm],
> ist der Rang der Funktion f = 1, also ist es eine 1 dm
> Untermannigfaltigkeit des [mm]R^3.[/mm]
Du stocherst leider völlig im Nebel. Wie kann es sein, dass du als Mathematiker ständig fragen musst, ob deine Argumente stimmen? Wenn dir nicht klar ist, wie und ob dein Argument funktioniert, dann ist es nicht bewiesen, ganz egal ob dir Übungsleiter dafür trotzdem Punkte geben oder nicht. Also: Halte dich an die Definitionen und benutze die Sätze, die ihr in der VL bewiesen habt. Überzeuge dich restlos, dass das alles Sinn macht. Wenn es dir nicht klar ist, ist es nicht klar!
Zurück zum Thema... das mit der Karte war etwas schlecht von mir, weil ich erstens nicht gesagt habe was ich damit meine und zweitens eure Definition ganz anders funktioniert. Du solltest direkt mit eurer Definition von UMF arbeiten. In deiner Aufgabe ist [mm]M\subset\IR^3[/mm] das Bild der Funktion [mm]\varphi:\IR\ni t\mapsto(\cos t,\sin t,t)\in\IR^3[/mm]. Jetzt überleg mal, ob du eine Funktion [mm]g:V:=\IR^3\to\IR^2[/mm] finden kannst, sodass [mm]p\in M\gdw g(p)=0[/mm] ist. Es ist sehr naheliegend und gar nicht schwer! Danach zeige, dass [mm]Dg(p)[/mm] Rang 2 hat für alle [mm]x\in\IR^3[/mm]. Und dann geh nochmal genauestens die Definition von UMF durch und überlege dir, ob diese jetzt auf $M$ zutrifft...
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 Fr 01.04.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Danke für deine Hilfe und Geduld.
Ich glaube, dass ich so eine Funktion g gefunden habe.
$g: [mm] R^3 \to R^2\\ [/mm] (x,y,z) [mm] \mapsto [/mm] (x-cos(z), y-sin(z))$
Für
$Dg = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & -sin(z) \\ 0 & 1 & -cos(z) \end{pmatrix}$ [/mm] hat Rang 1 für alle [mm] $(x,y,z)\in R^3$
[/mm]
und
$ M [mm] \cap [/mm] V = [mm] \{ x\in V |g(x)=0\} [/mm] $
Ich hoffe, dass ich nichts übersehen habe.
Lg
Nadia
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 Fr 01.04.2011 | | Autor: | pelzig |
Jetzt stimmt es, bis auf eine Kleinigkeit: Dg(p) hat Rang 2 für alle [mm]p\in V[/mm], war aber sicher nur ein Tippfehler.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Fr 01.04.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Ja, aber wenn das für $p [mm] \in R^3$ [/mm] gilt, dann gilt das auch für $p [mm] \in [/mm] V [mm] \subset R^3$
[/mm]
oder wie verstehe ich das ?
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Fr 01.04.2011 | | Autor: | pelzig |
Es ging darum, dass der Rang [mm]\red{2}[/mm] ist, nicht 1, so wie du geschrieben hast.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:19 Sa 02.04.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Oh ja danke
Lg
Nadia
|
|
|
|
