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| Aufgabe | R Ring, M halbeinfacher R-Modul R' := [mm] End(M)_R [/mm] R'':= End(M)_(R') und I Ideal mit der Eigenschaft IM = M
Zeige, dass für a'' [mm] \in [/mm] R'' und [mm] x_1,...,x_n \in [/mm] M es r [mm] \in [/mm] I gibt mit [mm] a''x_i [/mm] = [mm] rx_i [/mm] |
Der Beweis ist natürlich viel länger, mir geht es aber um diese Stelle für n=1:
N := Ix R-Untermodul => N ist auch R''-Untermodul....Warum?!
Weiter ist x [mm] \in [/mm] N => a''x [mm] \in [/mm] N...Wieso?!
=> es gibt r [mm] \in [/mm] I mit a''x = rx...das ist dann klar.
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Hallo lukas!
> R Ring, M halbeinfacher R-Modul R' := [mm]End(M)_R[/mm] R'':=
> End(M)_(R') und I Ideal mit der Eigenschaft IM = M
> Zeige, dass für a'' [mm]\in[/mm] R'' und [mm]x_1,...,x_n \in[/mm] M es r
> [mm]\in[/mm] I gibt mit [mm]a''x_i[/mm] = [mm]rx_i[/mm]
> Der Beweis ist natürlich viel länger, mir geht es aber
> um diese Stelle für n=1:
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> N := Ix R-Untermodul => N ist auch
> R''-Untermodul....Warum?!
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> Weiter ist x [mm]\in[/mm] N => a''x [mm]\in[/mm] N...Wieso?!
>
> => es gibt r [mm]\in[/mm] I mit a''x = rx...das ist dann klar.
>
Betrachte $Ix$ und $Rx$. (Einfachheit? Fall $Ix = 0$?)
Betrachte eine Zerlegung von $M$ und die zugehörigen Projektionen aus $R'$.
$a''$ vertauscht auch mit einer speziellen Projektion.
Also [mm] \ldots
[/mm]
LG mathfunnel
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M = N [mm] \oplus [/mm] N' wegen halbeinfach
[mm] \pi: [/mm] M [mm] \to [/mm] N Projektion...da N [mm] \subseteq [/mm] M ist, ist somit [mm] \pi \in [/mm] R'
=> [mm] \pi(M) [/mm] = N
Wie komm man drauf eine Projektion zu nehmen?
Für [mm] \phi \in [/mm] R'' gilt dann [mm] \phi(N) [/mm] = [mm] \phi(\pi(M)) [/mm] = [mm] \pi(\phi(M)) \subseteq [/mm] N
Warum darf man [mm] \pi [/mm] und [mm] \phi [/mm] vertauschen?
Damit wäre dann N ein R'' Untermodul...okay dann findet man zu a''x [mm] \in [/mm] N auch ein r [mm] \in [/mm] I mit a''x = rx
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Hallo Lukas!
> M = N [mm]\oplus[/mm] N' wegen halbeinfach
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> [mm]\pi:[/mm] M [mm]\to[/mm] N Projektion...da N [mm]\subseteq[/mm] M ist, ist somit
> [mm]\pi \in[/mm] R'
> => [mm]\pi(M)[/mm] = N
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> Wie komm man drauf eine Projektion zu nehmen?
Bei einer direkten Summe springen einen auch immer die zugehörigen Projektionen an.
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> Für [mm]\phi \in[/mm] R'' gilt dann [mm]\phi(N)[/mm] = [mm]\phi(\pi(M))[/mm] =
> [mm]\pi(\phi(M)) \subseteq[/mm] N
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> Warum darf man [mm]\pi[/mm] und [mm]\phi[/mm] vertauschen?
[mm] $\phi \in End_{R'}(M)$ [/mm] bedeutet u.A. für $r [mm] \in [/mm] R', m [mm] \in [/mm] M$, dass [mm] $\phi [/mm] (rm) = [mm] r\phi [/mm] (m)$.
$M$ wird als $R'$-Modul aufgefasst, indem man $rm := r(m)$ definiert , wobei rechts $r$ als Endomorphismus aufgefasst wird. Damit folgt für alle $m [mm] \in [/mm] M, [mm] r\in [/mm] R'$, dass [mm] $\phi [/mm] (rm) = [mm] \phi [/mm] (r(m))= [mm] r\phi [/mm] (m) = [mm] r(\phi [/mm] (m))$ und somit [mm] $\phi\circ [/mm] r = [mm] r\circ \phi$.
[/mm]
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> Damit wäre dann N ein R'' Untermodul...okay dann findet
> man zu a''x [mm]\in[/mm] N auch ein r [mm]\in[/mm] I mit a''x = rx
LG mathfunnel
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