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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 Di 04.12.2007 | | Autor: | jura |
| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen Sie, dass die folgenden Teilmengen Unterräume des [mm] \IR^{3} [/mm] sind.
a) [mm] U_{1}=\{x\in\IR^{3}/x_{1}=x_{2}+x_{3}\}
[/mm]
b) [mm] U_{1}=\{x\in\IR^{3}/x_{1}=x_{2}*x_{3}\}
[/mm]
c) [mm] U_{1}=\{x\in\IR^{3}/x_{1}*x_{2}\ge0\} [/mm] |
wir haben in der vorlesung nun vektorräume, unterräume etc angeschnitten, jedoch wirklich nur äußerst oberflächlich und ohne jegliches beispiel, sodass ich mir die ganze sache noch nicht richtig vorstellen kann und mit oben genannten aufgaben auch große probleme habe- vielleicht kann mir einfach jemand einen tipp geben, wie ich an die sache ranzugehen habe?! was muss ich mir im einzelnen überlegen?
vielen dank für die hilfe!
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> Beweisen oder widerlegen Sie, dass die folgenden Teilmengen
> Unterräume des [mm]\IR^{3}[/mm] sind.
> a) [mm]U_{1}=\{x\in\IR^{3}/x_{1}=x_{2}+x_{3}\}[/mm]
> b) [mm]U_{1}=\{x\in\IR^{3}/x_{1}=x_{2}*x_{3}\}[/mm]
> c) [mm]U_{1}=\{x\in\IR^{3}/x_{1}*x_{2}\ge0\}[/mm]
Hallo,
Du ein Unterrraum ist eine Teilmenge eines Vektorraumes, welcher selbst wieder ein Vektorraum ist.
Da sich viele Eigenschaften v. Hauptraum auf den Unterraum U vererben, braucht man zum Nachweis für "Unterraum" nur dreierlei nachzuweisen.
1. [mm] U\not=\emptyset
[/mm]
2. [mm] a,b\in [/mm] U ==> [mm] a+b\in [/mm] U
3. [mm] \lambda \in [/mm] K, [mm] a\in [/mm] U ==> [mm] \lambda a\in [/mm] U.
Und genau das mußt Du hier überlegen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Di 04.12.2007 | | Autor: | jura |
mh, danke- das habe ich auch in nem buch nachgelesen heute und für zahlen oder funktionen zb kann ich mir das ganze auch noch ganz gut vorstellen- nur bei diesen aufgaben hakt es leider etwas....
also, 1. ist ja in allen drei fällen erfüllt, oder. und bei a und b weiß ich eben nicht genau, was ich dafür einsetzen soll- [mm] x_{1} [/mm] ? ich müsste wohl einfach mal ein bsp sehen....kannst du mir noch etwas weiterhelfen? dankeschön!
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Hallo jura,
ja, das ist ein bissl abstrakt, aber so schlimm ist es nicht 
Ich mache mal für (a) einen Anfang...:
[mm] $U_1=\{x\in\IR^3\mid x_1=x_2+x_3\}\neq\emptyset$, [/mm] denn es ist [mm] $\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{0\\0\\0}$ [/mm] drin, da $0=0+0$ ist
Um die Abgeschlossenheit bzgl. + zu zeigen, nehmen wir uns 2 Vektoren [mm] $x,y\in U_1$ [/mm] her, etwa
[mm] $x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}, y=\vektor{y_1\\y_2\\y_3}$
[/mm]
Also gilt [mm] $x_1=x_2+x_3$ [/mm] und [mm] $y_1=y_2+y_3$
[/mm]
So ist ja [mm] $U_1$ [/mm] definiert...
Dann ist [mm] $x+y=\vektor{x_1+y_1\\x_2+y_2\\x_3+y_3}$
[/mm]
Ist das nun [mm] $\in U_1$?
[/mm]
dh. gilt [mm] $x_1+y_1=(x_2+y_2)+(x_3+y_3)$?
[/mm]
Begründe das mal
Ähnlich geht das mit der Abgeschlossenheit bzgl. Multiplikation mit Skalaren
Nimm dir ein [mm] $\lambda\in\IR$ [/mm] und wieder einen Vektor [mm] $x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}\in U_1$ [/mm] her
Dann gilt wieder [mm] $x_1=x_2+x_3$
[/mm]
Was ist nun [mm] $\lambda\cdot{}x$ [/mm] ? Und ist es [mm] $\in U_1$ [/mm] ?
Ich hoffe, es wird nun klarer, wie das allg. geht
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Mi 05.12.2007 | | Autor: | jura |
ok, vielen dank! auf alle fälle gefällt mir deine vektorenschreibweise schonmal  und ich hab mich eben auch an den beweisen versucht....bin zu dem schluss gekommen, dass für a) [mm] U_{1} [/mm] ein UR von [mm] \IR^{3} [/mm] ist, für b) und c) jedoch nicht, denn dort gilt bereits bezüglich + keine abgeschlossenheit. stimmt das?ich habe einfach wieder die definition für [mm] U_{1} [/mm] verwendet, das kommutativ/assoziativ/distributivgesetz angewendet, und erhalte so bei a) genau das, was für [mm] U_{1} [/mm] gelten muss, bei b)und c) entsteht keine übereinstimmung. habe leider nicht die zeit, meinen vollständigen rechenweg/beweis einzutippen- ich hoffe, es stimmt (falls denn die ergebnisse überhaupt stimmen...?)
und noch ne frage: in dem buch, wo ich geguckt habe, nehmen sie die abgeschlossenheit für + und die multiplikation zusammen, es genügt folglich, auf lineare abhängigkeit zu prüfen. kann ich das bei dem bsp also auch anwenden?
viele grüße und besten dank nochmal!
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Hallo jura,
> ok, vielen dank! auf alle fälle gefällt mir deine
> vektorenschreibweise schonmal
jo, sieht gut aus, oder , klicke mal drauf, dann siehst du, wie man's eintippelt...
> und ich hab mich eben
> auch an den beweisen versucht....bin zu dem schluss
> gekommen, dass für a) [mm]U_{1}[/mm] ein UR von [mm]\IR^{3}[/mm] ist ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> für b) und c) jedoch nicht, denn dort gilt bereits bezüglich +
> keine abgeschlossenheit
sehr gut !
> . stimmt das?
Jo
> ich habe einfach wieder
> die definition für [mm]U_{1}[/mm] verwendet, das
> kommutativ/assoziativ/distributivgesetz angewendet, und
> erhalte so bei a) genau das, was für [mm]U_{1}[/mm] gelten muss,
> bei b)und c) entsteht keine übereinstimmung.
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") das ist aber komisch ausgedrückt Du hättest mal besser die Mengen in (b) und (c) [mm] U_2 [/mm] und [mm] U_3 [/mm] genannt
> habe leider
> nicht die zeit, meinen vollständigen rechenweg/beweis
> einzutippen-
Was für'n Rechenweg? Ein einziges Gegenbsp., dass eines der Unterraumkriterien (1)-(3) nicht gilt, genügt völlig, das ist nicht viel einzutippen
Nur bei (a) ist es ein bisschen Schreibkram...
> ich hoffe, es stimmt (falls denn die
> ergebnisse überhaupt stimmen...?)
> und noch ne frage: in dem buch, wo ich geguckt habe,
> nehmen sie die abgeschlossenheit für + und die
> multiplikation zusammen,
Das kann man natürlich machen, es fasst ja nur beide Schritte zusammen, in der Praxis ist es aber oft leichter, das einzeln nachzuweisen
> es genügt folglich, auf lineare
> abhängigkeit zu prüfen.![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
eher Abgeschlossenheit bzgl. Linearkombination...
> kann ich das bei dem bsp also auch
> anwenden?
Na klar, probier's doch mal aus
> viele grüße und besten dank nochmal!
>
Gerne und Gruß zurück
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:59 Do 06.12.2007 | | Autor: | jura |
stimmt, man kann auch einfach ein gegenbsp bringen zur widerlegung- aber wenn ich widerlege, dass die abgeschlossenheit bzgl + nicht gilt, dann ist es ja auch nicht falsch, oder- und genau da bin ich mir bei c) nun doch nicht mehr so ganz sicher....kann ich das so schreiben:
seien x,y [mm] \in U_{1}, [/mm] folglich gilt: x= [mm] \vektor{x_{1}\\x_{2}}
[/mm]
[mm] x_{1}*x_{2}\ge0
[/mm]
y= [mm] \vektor{y_{1}\\y_{2}}
[/mm]
[mm] y_{1}*y_{2}\ge0
[/mm]
x+y= [mm] \vektor{x_{1}+y_{1}\\x_{2}+y_{2}}
[/mm]
folglich muss gelten: [mm] (x_{1}+y_{1})*(x_{2}+y_{2})\ge0
[/mm]
verwendung der def. für [mm] U_{1}liefert:
[/mm]
[mm] (x_{1}*y_{1})+(x_{2}*y_{2})\ge0
[/mm]
[mm] \not=(x_{1}+y_{1})*(x_{2}+y_{2})\ge0
[/mm]
also gilt keine abgeschlossenheit bzgl + und [mm] U_{1} [/mm] ist nicht UR
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Hallo,
das ist doch viel zu allgemein
> stimmt, man kann auch einfach ein gegenbsp bringen zur
> widerlegung- aber wenn ich widerlege, dass die
> abgeschlossenheit bzgl + nicht gilt, dann ist es ja auch
> nicht falsch, oder- und genau da bin ich mir bei c) nun
> doch nicht mehr so ganz sicher....kann ich das so
> schreiben:
> seien x,y [mm]\in U_{1},[/mm] folglich gilt: x=
> [mm]\vektor{x_{1}\\x_{2}}[/mm]
>
> [mm]x_{1}*x_{2}\ge0[/mm]
> y=
> [mm]\vektor{y_{1}\\y_{2}}[/mm]
>
> [mm]y_{1}*y_{2}\ge0[/mm]
> x+y= [mm]\vektor{x_{1}+y_{1}\\x_{2}+y_{2}}[/mm]
> folglich muss gelten: [mm](x_{1}+y_{1})*(x_{2}+y_{2})\ge0[/mm]
>
> verwendung der def. für [mm]U_{1}liefert:[/mm]
> [mm](x_{1}*y_{1})+(x_{2}*y_{2})\ge0[/mm]
> [mm]\red{\not\Rightarrow}(x_{1}+y_{1})*(x_{2}+y_{2})\ge0[/mm]
wieso folgt das nicht?
> also gilt keine abgeschlossenheit bzgl + und [mm]U_{1}[/mm] ist
> nicht UR
>
Nimm doch 2 ganz konkrete möglichst einfache Vektoren
[mm] $u=\vektor{1\\0\\0}, v=\vektor{0\\1\\0}$
[/mm]
Die sind beide aus [mm] U_1, [/mm] denn [mm] 1\cdot{}0\ge [/mm] 0 und [mm] 0\cdot{}1\ge [/mm] 0
Aber [mm] $u+v=\vektor{1\\1\\0}$
[/mm]
Die Summe von u und v ist also nicht in [mm] U_1
[/mm]
Also generell musst du dich bei Gegenbsp. gar nicht so sehr anstrengen und diese allg. Überlegungen anstellen, ein ganz konkrtets Bsp reicht, um die Aussage (Abgeschlossenheit bzgl. + in diesem Falle) zu widerlegen
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:24 Fr 07.12.2007 | | Autor: | jura |
ok, dankeschön!
trotzdem hakts nun an einer andern stelle- dein gegenbeispiel: ich rechne bei der summe u+v doch 1*1=1 und das ist doch größer als 0- oder muss es gleichzeitig auch gleich null sein?
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> trotzdem hakts nun an einer andern stelle- dein
> gegenbeispiel: ich rechne bei der summe u+v doch 1*1=1 und
> das ist doch größer als 0- oder muss es gleichzeitig auch
> gleich null sein?
Hallo,
das wird wohl nicht klappen.
Schachuzipus' Gegenbeispiel stimmt nicht, ich nehme an, daß er die Vektoren eine Winzigkeit anders geplant hatte und dann verkehrt aufgeschrieben.
Aber nachdem Du nun durchschaut hast, wie das geht, sollte es ein Leichtes für Dich sein, Dir selbst ein Gegenbeispiel auszudenken.
Gruß v. Angela
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