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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Fr 21.01.2005 | | Autor: | ThomasK |
Hallo
Ich hab folgende Aufgabe:
Im Standardvektorraum V = [mm] K^{3} [/mm] über dem Körper K betrachten wir die Unterräume:
U1 = {(x1, x2, x3) [mm] \in K^{3}| [/mm] x1 + x2 + x3 = 0},
U2 = K · (1, 1, 1) := {t · (1, 1, 1)| t [mm] \in [/mm] K}.
Zeigen Sie: Für K = [mm] \IR [/mm] ist U1 + U2 = V . Gilt dies auch im Falle K = [mm] \IF_{3}?
[/mm]
Heißt das soviel wie (x1,x2,x3) + (t,t,t) [mm] =\IR^{3}, [/mm] da V = [mm] K^{3} [/mm] und K = [mm] \IR
[/mm]
Jetzt einfach (x1 + t, x2 + t, x3 +t) = [mm] \IR^{3} [/mm] da t [mm] \IN \IR [/mm] (da K = [mm] \IR)
[/mm]
Stimmt das erstmal soweit oder ist das vollkommen falsch?
mfg
Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 Fr 21.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Thomas
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> Im Standardvektorraum V = [mm]K^{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
über dem Körper K
> betrachten wir die Unterräume:
> U1 = {(x1, x2, x3) [mm]\in K^{3}|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
x1 + x2 + x3 = 0},
> U2 = K · (1, 1, 1) := {t · (1, 1, 1)| t [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
K}.
> Zeigen Sie: Für K = [mm]\IR[/mm] ist U1 + U2 = V . Gilt dies auch
> im Falle K = [mm]\IF_{3}?
[/mm]
>
> Heißt das soviel wie (x1,x2,x3) + (t,t,t) [mm]=\IR^{3},[/mm] da V =
> [mm]K^{3}[/mm] und K = [mm]\IR
[/mm]
>
> Jetzt einfach (x1 + t, x2 + t, x3 +t) = [mm]\IR^{3}[/mm] da t [mm]\IN \IR[/mm]
> (da K = [mm]\IR)
[/mm]
Ja, im Prinzip hast du recht. Der Summenraum ist ja so definiert: er besteht aus allen Vektorsummen, von denen die verschiedenen Vektoren aus verschiedenen Unterräumen stammen.
Bei deiner Darstellung musst du aber aufpassen, dass du die Bedingung
[mm] $x_1+x_2+x_3=0$ [/mm] nicht verlierst.
Am Besten wäre es wohl, eine Basis dieses Unterraums zu finden.
Ich habe gefunden (das musst du aber selber auch noch machen), dass die Vektoren aus [mm] $U_1$ [/mm] so dargestellt werden kann:
$r*(1,-1,0)+s*(1,0,-1)$
Ueberprüfe bitte, dass so die drei Komponenten addiert auch tatsächlich Null ergeben, unabhängig von der Wahl für r und s.
Ein Vektor im Summenraum [mm] $U_1 [/mm] + [mm] U_2$ [/mm] hat also diese Form:
$r*(1,-1,0)+s*(1,0,-1)+t*(1,1,1)$
Jetzt hast du also nur zu zeigen, dass jeder Vektor $(a,b,c)_$ in der Gestalt $r*(1,-1,0)+s*(1,0,-1)+t*(1,1,1)$ darstellbar ist.
Dazu musst du natürlich ein Gleichungssystem lösen und zeigen, dass es für alle gegebenen Werte für a,b und c entsprechende Wertre für r,s und t (das sind dann die Unbekannten) gibt.
Kommst du jetzt mit deiner Aufgabe weiter?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Fr 21.01.2005 | | Autor: | ThomasK |
Wie kommst du denn auf [mm] r\cdot{}(1,-1,0)+s\cdot{}(1,0,-1) [/mm] ?
hast das so gemacht?
x1 + x2 +x3 = 0
2*x1 -x2 - x3 = 0
und dann einfach:
r*(1,-1,0)
s*(1,0,-1)
wenn man die beiden addiert kommt man wieder aud 2,-1,-1..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:58 Fr 21.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Thomas
> Wie kommst du denn auf [mm]r\cdot{}(1,-1,0)+s\cdot{}(1,0,-1)[/mm]
> ?
>
> hast das so gemacht?
>
> x1 + x2 +x3 = 0
> 2*x1 -x2 - x3 = 0
>
> und dann einfach:
> r*(1,-1,0)
> s*(1,0,-1)
>
> wenn man die beiden addiert kommt man wieder aud 2,-1,-1..
>
Nicht ganz, aber fast. Jedenfalls habe ich dieses Homogene Gleichungssystem nach dem Standardverfahren aufgelöst:
[mm] $x_1+x_2+x_3=0$
[/mm]
(Ok, das als Gleichungssystem zu bezeichnen, ist vielleicht etwas übertrieben, es ist aber tatsächlich eines!)
Das ist ja ein 2-dimensionaler Unterraum. Und davon ist eine Basis zu suchen. Wir haben ja 2 freie Variablen, und man wählt in der Regel dafür die hinteren Variablen aus, also in unserem Falle [mm] $x_2$ [/mm] und [mm] $x_3$.
[/mm]
Man wählt für die eine freie Variable einfach mal den Wert 1, und für die anderen freien Variablen den Wert $0_$. Das ist in unserem Fall nur die Variable [mm] $x_4$
[/mm]
Setze also einmal [mm] $(x_1,x_2,x_3)=(x_1,1,0)$ [/mm] und löse im Gleichungssystem nach [mm] $x_1$ [/mm] auf. So erhältst du den 1. Basisvektor.
Also:
[mm] $x_1+1+0=0$
[/mm]
ergibt für [mm] $x_1$ [/mm] den Wert $-1_$.
Somit ist ein Basisvektor: $(-1,1,0)$
Das Gleiche noch mit [mm] $(x_1,x_2,x_3)=(x_1,0,1)$
[/mm]
Das ergibt für den 2. Basisvektor (Gleichung lösen):
$(-1,0,1)$
Der Unterraum, der die gegebene Gleichung erfüllt, wird also von den Vektoren $(-1,1,0)$ und $(-1,0,1)$ aufgespannt.
Weil ich es unschön fand, dass gleich die erste Komponente negativ ist, habe ich diese Basisvektoren einfach noch mal -1 genommen.
Somit ist ein Vektor des Lösungsraumes eine Linearkombination von den beiden berechneten Basisvektoren, d.h. sie haben die Form:
$r*(1,-1,0)+s*(1,0,-1)$
Zur Probe:
Komponentenweise wäre das dann
[mm] $x_1=r+s$
[/mm]
[mm] $x_2=-r$
[/mm]
[mm] $x_3=-s$
[/mm]
Setze das mal in deiner Gleichung [mm] $x_1+x_2+x_3=0$ [/mm] ein:
$r+s-r-s=0$  stimmt!
Ist das etwas klarer geworden? War denn das Auflösen von linearen Gleichungssystemen noch nicht Stoff in der Vorlesung?
Mir lieben Grüssen
Paul
P.S. Ich antworte nur noch auf Fragen, wenn diese wenigstens mit einer Begrüssung eingeleitet werden. Auch ein Schlussgruss gehört zum guten Ton im Matheraum!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Sa 22.01.2005 | | Autor: | ThomasK |
Muss ich das den mit lineares hilfe des Linearen Gleichungssystems auflösen.
Also
[mm] \cdot{}(1,-1,0) [/mm] = 0
[mm] \cdot{}(1,0,-1) [/mm] = 0
[mm] \cdot{}(1,1,1) [/mm] = 0
und wenn ich das denn aufgelöst habe woran erkenne ich das es der Standartverktorraum [mm] K^{3} [/mm] ist?
Thomas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 Sa 22.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Lies mal meine vorherige Antwort bis zum Ende durch, insbesondere mein P.S.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Sa 22.01.2005 | | Autor: | ThomasK |
Ahh, verstehe.
Hallo lieber Paulus
Also wenn ich die Gleichung auflöse
x1 - x2 = 0 (oder schreibt man y1)
x1 - x3 = 0 (oder schreibt man y1)
x1 + x2 +x3 = 0 (oder schreibt man y1)
wie sieht man denn ob das gleich V ist?
Gruß
Thomas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:06 Sa 22.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Thomas
> Ahh, verstehe.
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> Hallo lieber Paulus
>
> Also wenn ich die Gleichung auflöse
>
> x1 - x2 = 0 (oder schreibt man y1)
> x1 - x3 = 0 (oder schreibt man y1)
> x1 + x2 +x3 = 0 (oder schreibt man y1)
>
> wie sieht man denn ob das gleich V ist?
>
Die Lösung ist ja
[mm] $(x_1,x_2,x_3)=r(1,-1,0)+s(1,0,-1)$
[/mm]
Das ist natürlich nicht das ganze V, sondern nur ein 2-dimensionaler Unterraum! Wir haben ja schliesslich nur 2 Basisvektoren, V ist aber 3-dimensional!
Die Behauptung war aber, dass, etwas umformuliert, die Vektoren
$(1,-1-0), (1,0,-1)$ und $(1,1,1)$ den ganzen V aufspannen.
Somit ist zu zeigen (schau dazu nochmals meine allererste Antwort an), dass jeder Vektor aus V sich darstellen lässt als Linearkombination der drei Vektoren. Das heisst ganz einfach, für beliebige Werte a,b und c mus die Gleichung
$r(1,-1,0)+s(1,0,-1)+t(1,1,1)=(a,b,c)$
nach r, s und t auflösbar sein.
Das Gleichungssystem lautet ja (einfach komponentenweise aufstellen):
$r+s+t=a$
$-r+t=b$
$-s+t=c$
Löse diese Gleichungssystem einfach auf und zeige, dass es für beliebige Wahl von a,b und c lösbar ist. Das sollte nicht zu schwierig sein. Löse einfach auf! Und wenn du nie durch Null dividieren musst, sollte das ja schon in Ordnung sein.
Wenn deine Lösung zum Beispiel das ethalten würde:
[mm] $r=\bruch{7b}{a+c}$
[/mm]
wäre das für $a=-c$ nicht definiert! Dann würden die gegebenen Vektoren nicht den ganzen V aufspannen!
Kannst du jetz mal mit der Lösung fortfahren?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Sa 22.01.2005 | | Autor: | ThomasK |
Lieber Paulus
Da stellt sich mir noch eine Frage.
Wieso ist eigentlich U1 ein zwei dimensionaler Unterraum, wenn
[mm] (x_{1},x_{2},x_{3} \to K^{3}) [/mm]
das heißt doch [mm] x_{1} [/mm] bis [mm] x_{3} [/mm] sind elemente aus V, da [mm] K^{3} [/mm] = V ist.
Thomas
Und dann noch wenn ich z.b. habe
t = (a + b + c)/3
folgt für [mm] \IF_{3} \not\in [/mm] V
wenn es dann ja wäre (a + b + c)/0 richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 Sa 22.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Thomas
einmal eine Gegenfrage: warum stellst du diese Fragen im Forum "Uni-(Lineare)Algebra". Mich stört dabei jetzt das Uni schon ein wenig!
Du hast ja die Gleichung gegeben: [mm] $x_1+x_2+x_3=0$
[/mm]
Das ist doch eine Ebenengleichung, und Ebenen haben nun mal die Dimension 2, auch wenn sie irgendwie schief in den 3-dimensionalen Raum eingebettet sind!
Wir können uns ja schliesslich auch auf der ganzen Ebene bewegen, mit Hilfe der zwei Vektoren $(1,-1,0)$ und $(1,0,-1)$. Das sind also 2 Basisvektoren des gegebenen Unterraums (der Ebene). Und die Anzahl Basisvektoren ist ja die Dimension eines Vektor(unter)raums.
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:26 Sa 22.01.2005 | | Autor: | ThomasK |
Achso ja sorry
Danke nochaml Paulus, hast was gut 
Thomas
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