Unterräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 So 23.01.2005 | | Autor: | ThomasK |
Hallo
Ich hab die Aufgabe.
[mm] U,U_{1} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] seien Unterräume des Vektorraumes V und [mm] U_{1} \subseteq U_{2}.
[/mm]
Jetzt sollen wir beweisen, das
1) [mm] (U_{2} \cap U)/(U_{1}\cap [/mm] U) ist isomorph zu einem Unterraum von [mm] U_{2}/U_{1}
[/mm]
[mm] 2)(U_{2} [/mm] + [mm] U)/(U_{1}+ [/mm] U) ist isomorph zu einem Faktorraum von [mm] U_{2}/U_{1}
[/mm]
Leider weiß ich aber nicht wie ich da anfangen soll.
Kann mir da jemand weiter helfen.
mfg
Thomas
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Mo 24.01.2005 | | Autor: | ThomasK |
hat keiner ne Idee?
Thomas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:26 Mo 24.01.2005 | | Autor: | Paulus |
doch schon, aber man fürchtet wieder diese endlosen, trivialen Fragen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:52 Mo 24.01.2005 | | Autor: | ThomasK |
Hi Paulus
Ich werd diesmal auch ein bischen mehr überlegeben 
Lg, Thomas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:51 Di 25.01.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Thomas!
> [mm]U,U_{1}[/mm] und [mm]U_{2}[/mm] seien Unterräume des Vektorraumes V und
> [mm]U_{1} \subseteq U_{2}.
[/mm]
>
> Jetzt sollen wir beweisen, das
> 1) [mm](U_{2} \cap U)/(U_{1}\cap[/mm] U) ist isomorph zu einem
> Unterraum von [mm]U_{2}/U_{1}
[/mm]
Betrachte die Abbildung
$f : [mm] \begin{array}{ccc} U_2 \cap U & \to & U_2/U_1\\[5pt] u & \mapsto & u + U_1 \end{array}$.
[/mm]
Offenbar gilt: [mm] $Kern(f)=U_1 \cap [/mm] U$. Aus dem Homomorphiesatz folgt:
[mm] $(U_2 \cap U)/(U_1 \cap U_2) [/mm] = [mm] (U_2 \cap [/mm] U)/Kern(f) [mm] \cong [/mm] Bild(f) [mm] \subset U_2/U_1$,
[/mm]
also die Behauptung.
> [mm]2)(U_{2}[/mm] + [mm]U)/(U_{1}+[/mm] U) ist isomorph zu einem Faktorraum
> von [mm]U_{2}/U_{1}
[/mm]
Betrachte hier mal die Abbildung
$g : [mm] \begin{array}{ccc} U_2/U_1 & \to & (U_2+U)/(U_1+U)\\[5pt] u + U_1 & \mapsto & u + U_1 +U \end{array}$.
[/mm]
Weise nach, dass $g$ wohldefiniert und surjektiv ist. Daraus folgt dann wiederum mit dem Homomorphiesatz die Behauptung.
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
|
