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| Aufgabe | Gegeben seien die Unterräume
[mm] U\U_{1} [/mm] = Span {(0,1,2),(1,1,1),(3,5,7)},
[mm] U\U_{2} [/mm] = Span {(1,1,0),(-1,2,2),(-2-13-10),(2,-1,-2)}
des [mm] \IR³. [/mm] Bestimmen sie jeweils die Dimension und die Basis von [mm] U\U_{1},U\U_{2},U\U_{1}\cap U\U_{2} [/mm] sowie [mm] U\U_{1}+U\U_{2}. [/mm] |
Hallo,
ich hab so meine Theroie, wie ich die Aufgabe lösen kann, bin aber von diesem Span ein wenig irritiert.
Die Vektoren von [mm] U\U_{1} [/mm] sind linear unabhängig. Kann ich dann nicht einfach sagen, dass die Dimension 3 ist und [mm] v\U_{1}=(0,1,2),v\U_{2}=(1,1,1),v\U_{3}=(3,5,7) [/mm] die Basisvektoren sind??
Oder muss ich wegen dem Span etwas besonderes beachten ???
Vielen Dank
DIRK
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 Mo 15.12.2008 | | Autor: | barsch |
Hi Dirk,
> Gegeben seien die Unterräume
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> [mm]U\U_{1}[/mm] = Span {(0,1,2),(1,1,1),(3,5,7)},
> [mm]U\U_{2}[/mm] = Span {(1,1,0),(-1,2,2),(-2-13-10),(2,-1,-2)}
>
> des [mm]\IR³.[/mm] Bestimmen sie jeweils die Dimension und die Basis
> von [mm]U\U_{1},U\U_{2},U\U_{1}\cap U\U_{2}[/mm] sowie
> [mm]U\U_{1}+U\U_{2}.[/mm]
> Hallo,
>
> ich hab so meine Theroie, wie ich die Aufgabe lösen kann,
> bin aber von diesem Span ein wenig irritiert.
Span meint die Menge aller Linearkombinationen, die du aus den Vektoren dieser Menge bilden kannst, z.B. ist
[mm] U_{1}:=Span [/mm] {(0,1,2),(1,1,1),(3,5,7)} und somit
[mm] \lambda_1\cdot{(0,1,2)}+\lambda_2*(1,1,1)+\lambda_3*(3,5,7)\in{U_{1}} \forall \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\in\IR. [/mm]
Z.B.: [mm] \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=1
[/mm]
[mm] 1\cdot{(0,1,2)}+1*(1,1,1)+1*(3,5,7)\in{U_{1}},...
[/mm]
> Die Vektoren von [mm]U\U_{1}[/mm] sind linear unabhängig. Kann ich
> dann nicht einfach sagen, dass die Dimension 3 ist und
> [mm]v\U_{1}=(0,1,2),v\U_{2}=(1,1,1),v\U_{3}=(3,5,7)[/mm] die
> Basisvektoren sind??
Sofern du gezeigt hast, dass [mm] v_{1}=(0,1,2),v_{2}=(1,1,1),v_{3}=(3,5,7) [/mm] linear unabhängig sind, kannst du das so schreiben. Du weißt ja, dass drei linear unabhängige Vektoren [mm] v_i\in\IR^3 [/mm] i=1,2,3 eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] bilden.
> Oder muss ich wegen dem Span etwas besonderes beachten
> ???
Nein.
MfG barsch
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Vielen Dank für Deine Antwort.
Ich hab allerdings beim Nachrechnen gesehen, dass sie nicht linear unabhängig sind. Aber von hier aus kann ich das weiter händeln.
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Noch eine Kleinigkeit.
Ich habe herausgefunden, dass (3,5,7) = 2(0,1,2)+3(1,1,1) ist. Also sind die linear abhängig.
(0,1,2) und (1,1,1) sind aber linear unabhängig.
Demnach ist die Dimension von [mm] U\U_{1} [/mm] = 2
Ist dann (0,1,2) und (1,1,1) auch die Basis ?? Oder geht das nicht wegen der Dimension ??
Danke schonmal
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Mo 15.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Noch eine Kleinigkeit.
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> Ich habe herausgefunden, dass (3,5,7) = 2(0,1,2)+3(1,1,1)
> ist. Also sind die linear abhängig.
>
> (0,1,2) und (1,1,1) sind aber linear unabhängig.
>
> Demnach ist die Dimension von [mm]U\U_{1}[/mm] = 2
> Ist dann (0,1,2) und (1,1,1) auch die Basis ??
Ja
FRED
>Oder geht
> das nicht wegen der Dimension ??
>
>
> Danke schonmal
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