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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 Di 17.02.2009 | | Autor: | unR34L |
| Aufgabe | Gegeben sind folgende Mengen mit Elementen aus [mm] \IZ_{7}^{3}
[/mm]
M1 = [mm] \{ \vektor{3 \\ 0 \\ 0}, \vektor{2 \\ 0 \\ 2} \}
[/mm]
M2 = [mm] \{ \vektor{2 \\ 0 \\ 1}, \vektor{1 \\ 5 \\ 0} \}
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass die Mengen M1 und M2 Erzeugendensysteme von Unterräumen des [mm] \IZ_{7}^{3} [/mm] sind.
b) Bestimmen Sie die Dimension dieser Unterräume.
c) Verifizieren Sie die Dimensionsformel an Hand dieser
Unterräume. |
Bei dieser Aufgabe bin ich leider ziemlich ratlos. Habe nichtmal einen Ansatz, was ich da überhaupt machen soll.
Ich kenne die Unterraumkriterien, kenne die Dimensionsformel, kann mit dem Begriff "Erzeugendensystem" ein bischen was anfangen und weiß auch was lineare Unabhängigkeit bedeutet und wie man diese prüft.
Allerdings weiß ich hier gar nicht was ich machen soll. Für einen Lösungsansatz wäre ich demnach sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:16 Di 17.02.2009 | | Autor: | max3000 |
Hallo.
Ich versuchs mal.
Dein Körper ist der [mm] \IZ_7. [/mm] Die Menge, die M1 erzeugt ist dann:
[mm] \lambda\vektor{3 \\ 0 \\ 0}+\mu\vektor{2 \\ 0 \\ 2}
[/mm]
, wobei [mm] \lambda,\mu\in\IZ_7 [/mm] ist.
Die Unterraumkriterien sind:
(i) 0 liegt drin:
Ja das ist klar, da für [mm] \lambda=\mu=0 [/mm] die null rauskommt
(ii) Additivität:
Seien [mm] v_1,v_2\in Span\{M_1\}, [/mm] dann gibt es [mm] \lambda_1,\lambda_2,\mu_1,\mu_2, [/mm] so dass [mm] v_1=
[/mm]
[mm] \lambda_1\vektor{3 \\ 0 \\ 0}+\mu_1\vektor{2 \\ 0 \\ 2} [/mm] und [mm] v_2 [/mm] entsprechend.
Dann ist [mm] v_1+v_2=(\lambda_1+\lambda_2)\vektor{3 \\ 0 \\ 0}+(\mu_1+\mu2)\vektor{2 \\ 0 \\ 2}
[/mm]
Weiterhin wissen wir, dass [mm] \IZ_7 [/mm] ein Körper ist und damit die Summe von 2 Elementen auch in der Menge liegt, also auch [mm] \lambda:=\lambda_1+\lambda_2 [/mm] und [mm] \mu:=... [/mm] entsprechend.
Das dritte Kriterium geht dann ähnlich.
Ich hoffe das hat dir geholfen und ich hoffe auch das war richtig. Ist mir schon wieder zu viel Algebra und das mag ich nicht ^^.
Für die restlichen Aufgaben:
b) hier musst du die beiden Vektoren auf lineare Abhängigkeit prüfen. Wenn die abhängig sind, dann Dimension 1, sonst 2.
c) kannst du eure Dimensionsformel vielleicht mal posten? ich weiß da grad nicht was gemeint ist.
Schönen Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Di 17.02.2009 | | Autor: | unR34L |
http://de.wikipedia.org/wiki/Dimensionsformel
Da steht sie :)
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> http://de.wikipedia.org/wiki/Dimensionsformel
>
> Da steht sie :)
Hallo,
dann mußt Du, wenn Du die Dimensionen der beiden Unterräume bestimmt hast, noch die des Summenraumes und des Durchnittes ausrechnen und nachschauen, ob alles stimmt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Di 17.02.2009 | | Autor: | unR34L |
Also die Dimension der Unterräume ist jeweils 2, da die Vektoren lin. unabh. sind.
Wie berechne ich jetzt die Dimension des Summenraumes und des Durchnittes?
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> Also die Dimension der Unterräume ist jeweils 2, da die
> Vektoren lin. unabh. sind.
>
> Wie berechne ich jetzt die Dimension des Summenraumes und
> des Durchnittes?
Hallo,
Für den Summenraum schaust Du Dir den Raum an, der von allen vieren aufgespannt wird.
Suche eine maximale linear unabhängige Telmenge dieser 4 Vektoren, damit hast Du eine Basis, wenn Du die nicht angeben mußt, dann reicht es, den Rang der Matrix zu bestimmen, die diese vier Vektoren in den Spalten hat.
Den Schnitt bestimmst Du so, wie Du in der Schule Schnitte zwischen Ebenen bestimmt hast.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Di 17.02.2009 | | Autor: | unR34L |
Zum Summenraum:
Habe als erstes geprüft, ob die Vektoren lin. unabh. sind: Nein, sind sie nicht.
Dann habe ich gesehen, dass sich der erste Vektor aus M2 durch die beiden Vektoren aus M1 darstellen lässt, also hab ich den rausgeschmissen und geprüft, ob die verbleibenden drei Vektoren lin. unabh. sind.
Da sie das sind, weiß ich dim(M1+M2) = 3
Zum Durchschnitt:
Puuh, Schule ist schon so lange her ;) Komme nicht mehr drauf, wie man das ausgerechnet hat.
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> Zum Summenraum:
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> Habe als erstes geprüft, ob die Vektoren lin. unabh. sind:
> Nein, sind sie nicht.
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> Dann habe ich gesehen, dass sich der erste Vektor aus M2
> durch die beiden Vektoren aus M1 darstellen lässt, also hab
> ich den rausgeschmissen und geprüft, ob die verbleibenden
> drei Vektoren lin. unabh. sind.
>
> Da sie das sind, weiß ich dim(M1+M2) = 3
>
> Zum Durchschnitt:
>
> Puuh, Schule ist schon so lange her ;) Komme nicht mehr
> drauf, wie man das ausgerechnet hat.
Hallo,
indem Du
[mm] \lambda_1\vec{a} [/mm] + [mm] \lambda_2\vec{b}= mu_1\vec{c} [/mm] + [mm] \mu_2\vec{d}
[/mm]
gelöst hast.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Di 17.02.2009 | | Autor: | unR34L |
[mm] \lambda_{1} \vektor{3 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda_{2}\vektor{2 \\ 0 \\ 2} [/mm] = [mm] \mu_{1} \vektor{2 \\ 0 \\ 1} [/mm] + [mm] \mu_{2} \vektor{1 \\ 5 \\ 0}
[/mm]
Ist das der richtige Ansatz? Weiß nich, was mir das bringen soll ... :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Di 17.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
es bringt dir ein GS fuer die Koeffizienten! einfach loesen, bzw sehen wieviel Loesg es gibt.
Gruss leduart
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