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| Aufgabe | Sei [mm] A=\begin{pmatrix}1 & 4 & 2 & 1\\
0 & 1 & 2 & 1\\
0 & 0 & 1 & 3\\
0 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}\in M(4\times4;\mathbb{Q}^{4}) [/mm] mit charakteristischem Polynom [mm] \chi_{A}.Schreibe \chi_{A}=\zeta_{1}^{m_{1}}\cdot...\cdot\zeta_{t}^{m_{t}} [/mm] mit paarweise verschiedenen irreduziblen Polynomen [mm] \zeta_{1}^{m_{1}},...,\zeta_{t}^{m_{t}}. [/mm] Bestimmen Sie die Unterräume
[mm] U_{i}=Ker(\zeta_{i}^{m_{i}}(A)). [/mm] |
Hallo,
ich muss hier ja irgendwie [mm] \zeta_{i}^{m_i}(A) [/mm] ausrechnen und dann
[mm] (\zeta_{i}^{m_i}(A))(v)=0.
[/mm]
Nur beim ersten Schritt habe ich das Problem, dass ich nicht weiß, wie ich das ausrechne. Ich weiß ja garnicht, wie die Polynome aussehen.
Was ich weiß ist, dass [mm] \chi_A(A)=0 [/mm] ist. Daraus folgt, dass mindestens eines der [mm] \zeta-Polynome [/mm] zu null wird, wenn ich A einsetze, was aber klar ist, da Null sowieso immer Unterraum ist.
Ich hab weiterhin einfach mal das charakterisrische Polynom ausgerechnet. Komme jetzt aber nicht weiter. Wie muss ich es anstellen, dass ich [mm] \zeta_{i}^{m_i}(A) [/mm] ausrechnen kann?
Gruß Sleeper
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> Sei [mm]A=\begin{pmatrix}1 & 4 & 2 & 1\\
0 & 1 & 2 & 1\\
0 & 0 & 1 & 3\\
0 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}\in M(4\times4;\mathbb{Q}^{4})[/mm]
> mit charakteristischem Polynom [mm]\chi_{A}.Schreibe \chi_{A}=\zeta_{1}^{m_{1}}\cdot...\cdot\zeta_{t}^{m_{t}}[/mm]
> mit paarweise verschiedenen irreduziblen Polynomen
> [mm]\zeta_{1}^{m_{1}},...,\zeta_{t}^{m_{t}}.[/mm] Bestimmen Sie die
> Unterräume
>
> [mm]U_{i}=Ker(\zeta_{i}^{m_{i}}(A)).[/mm]
> Hallo,
>
> ich muss hier ja irgendwie [mm]\zeta_{i}^{m_i}(A)[/mm] ausrechnen
> und dann
> [mm](\zeta_{i}^{m_i}(A))(v)=0.[/mm]
>
> Nur beim ersten Schritt habe ich das Problem, dass ich
> nicht weiß, wie ich das ausrechne. Ich weiß ja garnicht,
> wie die Polynome aussehen.
> Was ich weiß ist, dass [mm]\chi_A(A)=0[/mm] ist. Daraus folgt, dass
> mindestens eines der [mm]\zeta-Polynome[/mm] zu null wird, wenn ich
> A einsetze, was aber klar ist, da Null sowieso immer
> Unterraum ist.
>
> Ich hab weiterhin einfach mal das charakterisrische Polynom
> ausgerechnet. Komme jetzt aber nicht weiter. Wie muss ich
> es anstellen, dass ich [mm]\zeta_{i}^{m_i}(A)[/mm] ausrechnen kann?
Hallo,
das ist hier nicht wild.
Man will von Dir, daß Du schreibst: [mm] \chi_A(x)=(x-1)^3(x+1)
[/mm]
Gruß v. Angela
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> Man will von Dir, daß Du schreibst: [mm]\chi_A(x)=(x-1)^3(x+1)[/mm]
>
> Gruß v. Angela
Genau, das hab ich auch schon ausgerechnet. Dann habe ich quasi ja nur 2 solcher Polynome. Dann da A einsetzen und die Kerne ausrechnen?
Dann habe ich mich von den Indizes verwirren lassen. Das sah nach mehr aus.
Ich muss also quasi nur 2 Unterräume ausrechnen?
Ker(A+E) und [mm] Ker((A-E)^3), [/mm] richtig?
Gruß Sleeper
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> Ich muss also quasi nur 2 Unterräume ausrechnen?
> Ker(A+E) und [mm]Ker((A-E)^3),[/mm] richtig?
>
Hallo,
genau.
Gruß v. Angela
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Aber ist [mm] (x-1)^3 [/mm] denn irreduzibel? Ich kann das doch schreiben als [mm] (x-1)\cdot (x-1)\cdot [/mm] (x-1). Dann hätte ich allerdings drei gleiche Polynome, was im Widerspruch zu der Aussage: paarweise verschieden steht. Oder bezieht sich das irreduzibel darauf, dass (x+1) nur [mm] (x-1)^3 [/mm] nicht teilt?
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Huch!
Ich hatte vorhin gar nicht gesehen, daß da "$ [mm] \zeta_{1}^{m_{1}},...,\zeta_{t}^{m_{t}} [/mm] $ irreduzibel" stand.
Die normale Aufgabenstellung wäre .M.n: "...so daß [mm] \zeta_{1}^{},...,\zeta_{t}^{} [/mm] paarweise irreduzibel sind"
Ich halte das für einen Druckfehler.
> Aber ist [mm](x-1)^3[/mm] denn irreduzibel?
Nein.
Gruß v. Angela
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Ok ich bin verwirrt. Der Klarheit wegen:
In der Aufgabe sollte eigentlich sogar stehen "mit paarweise verschiedenen irreduziblen normierten Polynomen [mm] \zeta_1^{m_1}...".
[/mm]
Bedeutet das nun, die Polynome sollen paarweise verschieden sein und paarweise irreduzibel (ich kann also [mm] (x-1)^3 [/mm] nicht als Vielfaches von x+1 ausdrücken) und eben normiert? Das wäre für [mm] (x-1)^3 [/mm] und (x+1) ja der Fall.
Dann würde ich berechnen [mm] Ker((A-E)^3) [/mm] und Ker(A+E) ODER muss ich gar berechnen Ker(A-E) und Ker(A+E)???
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> Ok ich bin verwirrt. Der Klarheit wegen:
> In der Aufgabe sollte eigentlich sogar stehen "mit
> paarweise verschiedenen irreduziblen normierten Polynomen
> [mm]\zeta_1^{m_1}...".[/mm]
Ja, und sinnvoll wäre
"...mit
> paarweise verschiedenen irreduziblen normierten Polynomen
> [mm][mm] \zeta_1^{}...".
[/mm]
Die Anweisung "$ [mm] U_{i}=Ker(\zeta_{i}^{m_{i}}(A)) [/mm] $ berechnen!" ist doch o.K: das sind die Haupträume.
Es ist nunmal [mm] (x-1)^3 [/mm] nicht irreduzibel. Offensichtlich.
Gruß v. Angela
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Gut. Die Dinger [mm] \zeta_1,...,\zeta_t [/mm] sind ja die paarweise verschiedenen irreduziblen und normierten Polynome.
Also habe ich für [mm] \zeta_1=(x-1) [/mm] (das ist irreduzibel) und [mm] m_i=m_1=3. [/mm] Ich muss folglich [mm] Ker(\zeta_1^3) [/mm] berechnen usw. Also genauso wie ich es auch eigentlich machen wollte.
Soweit dann alles richtig?
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> Gut. Die Dinger [mm]\zeta_1,...,\zeta_t[/mm] sind ja die paarweise
> verschiedenen irreduziblen und normierten Polynome.
>
> Also habe ich für [mm]\zeta_1=(x-1)[/mm] (das ist irreduzibel) und
> [mm]m_i=m_1=3.[/mm] Ich muss folglich [mm]Ker(\zeta_1^3)[/mm] berechnen usw.
> Also genauso wie ich es auch eigentlich machen wollte.
>
> Soweit dann alles richtig?
Ich würd's jedenfalls so machen.
Gruß v. Angela
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