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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Do 21.11.2013 | | Autor: | Lila_1 |
| Aufgabe | Sei V endlich-dimensional und P: V [mm] \to [/mm] V linear mit der Eigenschaft, dass
P [mm] \circ [/mm] P = P.
Zeige, dass es Unterräume U,W [mm] \subset [/mm] V gibt mit V = U [mm] \oplus [/mm] W und P(u+w)= u
für jedes u [mm] \in [/mm] U und jedes w [mm] \in [/mm] W |
Mein Ansatz wäre den Kern und Bild von P anzuschauen.
Aber ich weiß es nicht genau wie ich es machen soll.
Könnt ihr mir da weiterhelfen?
Gruß lila
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Do 21.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei V endlich-dimensional und P: V [mm]\to[/mm] V linear mit der
> Eigenschaft, dass
> P [mm]\circ[/mm] P = P.
> Zeige, dass es Unterräume U,W [mm]\subset[/mm] V gibt mit V = U
> [mm]\oplus[/mm] W und P(u+w)= u
> für jedes u [mm]\in[/mm] U und jedes w [mm]\in[/mm] W
> Mein Ansatz wäre den Kern und Bild von P anzuschauen.
Gute Idee !
> Aber ich weiß es nicht genau wie ich es machen soll.
> Könnt ihr mir da weiterhelfen?
U:=Bild(P) und W:= kern(P) leisten das Gewünschte.
Zeige vorher noch:
1. [mm] Bild(P)=\{x \in V: P(x)=x\} [/mm]
und
2. Kern(P)= Bild(I-P)
FRED
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> Gruß lila
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