Unterräume addieren < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] V=\IR^3. [/mm] Gegeben sei [mm] U=\left\{ \vektor{a \\ a \\ b} | a,b \in \IR \right\} [/mm] und [mm] W=\left\{ \vektor{a \\ b \\ a+b} | a,b \in \IR \right\}
[/mm]
(i) U, W sind Unterräume von V (kein Problem)
(ii) U+W=V (Problem) |
Hi,
ich hab zur ii nur eine Idee aber keine Richtige Ahnung wie ich das zeigen soll. Und zwar dachte ich das man zwei (drei? aber woher?) Vektoren aus den beiden Unteräumen U,W nehmen könnte und dann beweist das sie linear unabhängig sind und damit die Basis von V bilden, nur scheiter ich bei der Durchführung der Überlegung
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Hallo Dr. Network,
was ist denn da in (ii) zu tun?
zu zeigen oder zu widerlegen, dass [mm] $U+W=V=\IR^3$ [/mm] ist?
Na, das kannst du doch leicht widerlegen...
Es ist [mm] $U+W=\{v\in\IR^3 (=V)\mid \exists u\in U, w\in W: v=u+w\}$
[/mm]
Kannst du etwa den Vektor [mm] $\vektor{1\\1\\0}\in\IR^3$ [/mm] als Summe zweier Vektoren (einer aus U, der andere aus W) darstellen?
Gruß
schachuzipus
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Das wundert mich jetzt aber, da steht nämlich drüber "Zeigen Sie die folgenden Aussagen"
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Hallo nochmal,
> Das wundert mich jetzt aber, da steht nämlich drüber
> "Zeigen Sie die folgenden Aussagen"
Hmmm, dann müsste es reelle $a,b$ geben mit [mm] $\vektor{1\\1\\0}=\vektor{a\\a\\b}+\vektor{a\\b\\a+b}$
[/mm]
Also
(1) $2a=1$
(2) $a+b=1$
(3) $a+2b=0$
Und das kann nicht hinkommen ...
Gruß
schachuzipus
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> Hallo nochmal,
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> > Das wundert mich jetzt aber, da steht nämlich drüber
> > "Zeigen Sie die folgenden Aussagen"
>
> Hmmm, dann müsste es reelle [mm]a,b[/mm] geben mit
> [mm]\vektor{1\\1\\0}=\vektor{a\\a\\b}+\vektor{a\\b\\a+b}[/mm]
>
> Also
>
> (1) [mm]2a=1[/mm]
> (2) [mm]a+b=1[/mm]
> (3) [mm]a+2b=0[/mm]
>
> Und das kann nicht hinkommen ...
Auch nicht so?:
[mm] \lambda [/mm] a + [mm] \gamma [/mm] a = 1
[mm] \lambda [/mm] a + [mm] \gamma [/mm] b = 1
[mm] \lambda [/mm] b + [mm] \gamma [/mm] a + [mm] \gamma [/mm] b = 0
[EDIT]
was wär denn wenn ich jeweils a=0 und b=1 setze also z.B.
a=1
b=0
[mm] \vektor{a \\ a \\ b} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} \vektor{a \\ b \\ a+b} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
a=0
b=1
[mm] \vektor{a \\ a \\ b} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} \vektor{a \\ b \\ a+b} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Hätte ich da nicht genug Vektoren für die erste Idee?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:39 Mi 28.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo nochmal,
> >
> > > Das wundert mich jetzt aber, da steht nämlich drüber
> > > "Zeigen Sie die folgenden Aussagen"
> >
> > Hmmm, dann müsste es reelle [mm]a,b[/mm] geben mit
> > [mm]\vektor{1\\1\\0}=\vektor{a\\a\\b}+\vektor{a\\b\\a+b}[/mm]
> >
> > Also
> >
> > (1) [mm]2a=1[/mm]
> > (2) [mm]a+b=1[/mm]
> > (3) [mm]a+2b=0[/mm]
> >
> > Und das kann nicht hinkommen ...
>
> Auch nicht so?:
> [mm]\lambda[/mm] a + [mm]\gamma[/mm] a = 1
> [mm]\lambda[/mm] a + [mm]\gamma[/mm] b = 1
> [mm]\lambda[/mm] b + [mm]\gamma[/mm] a + [mm]\gamma[/mm] b = 0
>
> [EDIT]
>
> was wär denn wenn ich jeweils a=0 und b=1 setze also z.B.
> a=1
> b=0
> [mm]\vektor{a \\ a \\ b}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0} \vektor{a \\ b \\ a+b}[/mm]
> = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> a=0
> b=1
> [mm]\vektor{a \\ a \\ b}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1} \vektor{a \\ b \\ a+b}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> Hätte ich da nicht genug Vektoren für die erste Idee?
Überlege:
U ist die lineare Hülle von [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}und \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
W ist die lineare Hülle von [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1}und \vektor{0 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Dann ist U+W=V
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Ah super und wie kann ich die Folgerung dann formal hinschreiben?
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> Ah super und wie kann ich die Folgerung dann formal
> hinschreiben?
Hallo,
Du könntest es irgendwie glaubhaft machen, daß man jeden Vektor aus V als Summe eines Vektors aus U und eines aus W schreiben kannst,
also zeigen, daß [mm] V\subseteq [/mm] U+W.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:52 Do 29.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Zeige: dim(U+W) =3
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:41 Mi 28.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo nochmal,
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> > Das wundert mich jetzt aber, da steht nämlich drüber
> > "Zeigen Sie die folgenden Aussagen"
>
> Hmmm, dann müsste es reelle [mm]a,b[/mm] geben mit
> [mm]\vektor{1\\1\\0}=\vektor{a\\a\\b}+\vektor{a\\b\\a+b}[/mm]
Nein, Du irrst: es müsste reelle [mm]a,b,a', b'[/mm] geben mit:
[mm]\vektor{1\\1\\0}=\vektor{a\\a\\b}+\vektor{a'\\b'\\a'+b'}[/mm]
... und die gibts
FRED
>
> Also
>
> (1) [mm]2a=1[/mm]
> (2) [mm]a+b=1[/mm]
> (3) [mm]a+2b=0[/mm]
>
> Und das kann nicht hinkommen ...
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
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Hallo Fred,
> > Hallo nochmal,
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> > > Das wundert mich jetzt aber, da steht nämlich drüber
> > > "Zeigen Sie die folgenden Aussagen"
> >
> > Hmmm, dann müsste es reelle [mm]a,b[/mm] geben mit
> > [mm]\vektor{1\\1\\0}=\vektor{a\\a\\b}+\vektor{a\\b\\a+b}[/mm]
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> Nein, Du irrst: es müsste reelle [mm]a,b,a', b'[/mm] geben mit:
>
> [mm]\vektor{1\\1\\0}=\vektor{a\\a\\b}+\vektor{a'\\b'\\a'+b'}[/mm]
![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
>
> ... und die gibts
Oha, du hast recht!
Dümmer geht's nimmer, sorry DrNetwork ...
![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]")
>
> FRED
> >
> > Also
> >
> > (1) [mm]2a=1[/mm]
> > (2) [mm]a+b=1[/mm]
> > (3) [mm]a+2b=0[/mm]
> >
> > Und das kann nicht hinkommen ...
> >
Gruß
schachuzipus
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