Unterräume eines Vektorraums < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien U und W Unterräume eines Vektorraums V über K. Zeigen Sie:
U [mm] \cup [/mm] W ist ein Unterraum von V [mm] \Rightarrow [/mm] U [mm] \subseteq [/mm] W [mm] \vee [/mm] W [mm] \subseteq [/mm] U. |
Hallo!
Kann mir einer von euch sagen, wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen kann. Uns wurde gesagt, dass man das am besten mit einem Beweis durch Wiederspruch zeigt.
Ich verstehe auch nicht, warum U eine Teilmenge von W sein muss, bzw. umgedreht. Warum ist das denn so?
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> Seien U und W Unterräume eines Vektorraums V über K. Zeigen
> Sie:
> U [mm]\cup[/mm] W ist ein Unterraum von V [mm]\Rightarrow[/mm] U [mm]\subseteq[/mm]
> W [mm]\vee[/mm] W [mm]\subseteq[/mm] U.
> Ich verstehe auch nicht, warum U eine Teilmenge von W sein
> muss, bzw. umgedreht. Warum ist das denn so?
Hallo,
vielleicht hilft Dir fürs Verständnis ein Beispiel.
Nimm als Vektorraum den [mm] \IR^2, [/mm] als Unterräume zwei sich schneidende Geraden.
Deren Vereinigung ist kein Unterraum: wenn Du Dir auf jeder Geraden einen vom Nullvektor verschiedenen Vektor nimmst und die beiden addierst, liegt das Ergebnis auf keiner der beiden Geraden. Die Vereinigung ist also nicht abgeschlossen bzgl. der Addition und ist somit als UVR aus dem Rennen.
Mit diesem Gedanken funktioniert auch der Beweis.
> Uns wurde gesagt, dass man das am besten mit
> einem Beweis durch Wiederspruch zeigt.
Genau.
Nimm an, daß U [mm] \cup [/mm] W ist ein Unterraum von V ist,
und daß [mm] (U\subseteq [/mm] W [mm] \vee [/mm] W [mm] \subseteq [/mm] U) nicht gilt.
Dann gibt es ein x [mm] \in [/mm] U \ W und ein y [mm] \in [/mm] W \ U.
Nun addiere die beiden. Weil U [mm] \cup [/mm] W nach Voraussetzung ein Unterraum ist, liegt das Ergebnis drin.
Das kannst Du nun mithilfe der Vorgabe, daß U und W Unterräume sind, zum Widerspruch führen.
Gruß v. Angela
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Danke! Dein Beispiel mit den Geraden hat mir wirklich auf die Sprünge geholfen...
Hab ich das richtig verstanden, dass U und W Teilmengen sein müssen, weil es ansonsten z.B. ein x [mm] \in [/mm] U gibt, dass nicht [mm] \in [/mm] W ist und dessen Summe somit nicht in U [mm] \cup [/mm] W liegt - daher kann U [mm] \cup [/mm] W in diesem Fall auch kein Unterraum von V sein (Wiederspruch zur Annahme)?
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Hi,
ich glaube, das passt noch nicht so ganz:
Wenn [mm] $x\in [/mm] U$ ist, so ist doch [mm] $x+x\in [/mm] U$, da U UVR Damit ist aber x+x doch sicherlich auch [mm] $\in U\cup [/mm] W$
Was Angela meinte, war:
Nimm an, dass [mm] $U\cup [/mm] W$ UVR sei und dass gilt [mm] $U\not\subseteq [/mm] W$
Dann ist zz. [mm] $W\subseteq [/mm] U$
ALso nehmen wir ein [mm] $x\in [/mm] W$ Dann müssen wir zeigen, dass x gefälligst auch [mm] $\in [/mm] U$ ist
Nehmen wir ein [mm] $y\in U\backslash [/mm] W$ hinzu.
Damit sind [mm] $x,y\in W\cup [/mm] U$ (ist ja jedes in einem drin)
Da [mm] $U\cup [/mm] W$ VR ist nach Vor., ist also auch [mm] $x+y\in U\cup [/mm] W$
Nun ist aber $x+y [mm] \not\in [/mm] W$, da sonst $y=x+y-x [mm] \in [/mm] W$ wäre
Also ist $x+y [mm] \in [/mm] U$ und damit auch $x=x+y-y [mm] \in [/mm] U$
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:42 Di 17.04.2007 | | Autor: | guacamole |
Ok...denke, ich habe es soweit verstanden. Danke euch beiden!
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