Unterräume für Vektorraum Mod3 < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:50 Di 06.01.2015 | | Autor: | CarstenF |
| Aufgabe | Gegeben Vektorraum [mm] V=K^3 [/mm] über den Körper K=Z3={0,1,2} mit den Verknüpfungen +mod3 und *mod3 (Modulo 3, d.h. 2 + 2 = 1 etc.).
Aufgabe: Geben Sie alle Untervektorräume von [mm] K^3 [/mm] an, die [mm] {1,0,1}^T [/mm] Element von [mm] K^3 [/mm] enthalten. |
Hallo,
meine erste Frage hier im Forum.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Als eine der wöchentlichen Aufgaben muss ich die obige Frage beantworten:
Meine vorläufige Lösung wäre:
1. V selbst
2. [mm] U:={(x1,x2,x3)\in von K^3|x2=0}
[/mm]
3. [mm] U:={(x1,x2,x3)\in von K^3|x1=x3}
[/mm]
4. [mm] U:={(x1,x2,x3)\in von K^3|x2=0,x1=x3}
[/mm]
5. [mm] U:={(x1,x2,x3)\in von K^3|x1+x2-x3=0}
[/mm]
6. [mm] U:={(x1,x2,x3)\in von K^3|x3+x2-x1=0}
[/mm]
Jetzt wäre meine Frage:
Darf ein Unterraum eigentlich auch eine eingeschränkte Version der Verknüpfungen von V verwenden (und ist dann noch Unterraum von V)? D.h. wäre ein Unterraum mit Verknüpfungen + und * mit modulo 2 auch ein Unterraum von V?
Und wahrscheinlich gibt es noch deutlich mehr Unterräume als ich aufgeschrieben habe? Wäre für einen Tipp in welche Richtung ich noch denken sollte dankbar!
Viele Grüße,
Carsten
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 Mi 07.01.2015 | | Autor: | hippias |
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben Vektorraum [mm]V=K^3[/mm] über den Körper K=Z3={0,1,2} mit
> den Verknüpfungen +mod3 und *mod3 (Modulo 3, d.h. 2 + 2 =
> 1 etc.).
>
> Aufgabe: Geben Sie alle Untervektorräume von [mm]K^3[/mm] an, die
> [mm]{1,0,1}^T[/mm] Element von [mm]K^3[/mm] enthalten.
> Hallo,
>
> meine erste Frage hier im Forum.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Als eine der wöchentlichen Aufgaben muss ich die obige
> Frage beantworten:
>
> Meine vorläufige Lösung wäre:
> 1. V selbst
> 2. [mm]U:={(x1,x2,x3)\in von K^3|x2=0}[/mm]
> 3. [mm]U:={(x1,x2,x3)\in von K^3|x1=x3}[/mm]
>
> 4. [mm]U:={(x1,x2,x3)\in von K^3|x2=0,x1=x3}[/mm]
> 5.
> [mm]U:={(x1,x2,x3)\in von K^3|x1+x2-x3=0}[/mm]
> 6. [mm]U:={(x1,x2,x3)\in von K^3|x3+x2-x1=0}[/mm]
>
> Jetzt wäre meine Frage:
> Darf ein Unterraum eigentlich auch eine eingeschränkte
> Version der Verknüpfungen von V verwenden (und ist dann
> noch Unterraum von V)? D.h. wäre ein Unterraum mit
> Verknüpfungen + und * mit modulo 2 auch ein Unterraum von
> V?
Nein, ueblicherweise erbt eine Teilstruktur die Verknuepfung der Oberstruktur. Das, was Du vorschlaegst, wuerde man uebrigens nicht als Einschraenkung bezeichnen. Vielmehr versteht man unter einer Einschraenkung naemlich das, was man erhaelt, wenn die alte Verknuepfung auch fuer die Teilstruktur verwendet wird.
Natuerlich kannst Du Deinen eigenen Begriff "Teilraum" definieren und auch versuchen die Verknuepfung zwischen den Vektoren o.ae. zu aendern, nur wuerde das nicht laenger als Teilraum im ueblichen Sinne angesehen werden.
Du kannst ja mal versuchen herauszufinden was man erhaelt, wenn Du ploetzlich Modulo $2$ zu rechnen versuchst...
> Und wahrscheinlich gibt es noch deutlich mehr Unterräume
> als ich aufgeschrieben habe? Wäre für einen Tipp in
> welche Richtung ich noch denken sollte dankbar!
Das sieht schon gut aus (obwohl ich nicht darueber nachgedacht habe, ob Du einen Teilraum vergessen hast). Wenn der Begriff der Dimension schon eingefuehrt wurde, dann koenntest Du die Teilraeume auch systematisch geordnet nach ihrer Dimension aufzaehlen.
Auch sollstest Du Dir darueber Gedanken machen, wie Du beweisen kannst, dass Du wirklich alle Raeume gefunden hast.
>
> Viele Grüße,
> Carsten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:33 Mi 07.01.2015 | | Autor: | CarstenF |
Danke! Ja, Dimension wurde schon eingeführt. über Deinen letzten Satz muss ich nachdenken...
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