Unterräume nachweisen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:25 Do 08.03.2012 | | Autor: | racy90 |
Hallo
ich soll für ein paar Mengen überprüfen ob sie Unterräume sind.
[mm] {(x_1,x_2,x_3)^T \in \IR : x_1=x_2} [/mm] erfüllt für mich die Axiome
[mm] {(x_1,x_2,x_3)^T \in \IR : x_1/2+x_3/2=x_2/4} [/mm] ebenfalls
[mm] {(x_1,x_2,x_3)^T \in \IR : x_1^2+x_2^2=x_3^2} [/mm] ich denke auch hier handelt es sich um einen Unterraum
[mm] {(x_1,x_2,x_3,x_4)^T \in \IR : genau 2 Koordinaten sind negativ} [/mm] hab keine Ahnung :/
[mm] {(\mu+\lambda,\lambda^2)^T \in \IR : \mu,\lambda \in \IR} [/mm] leider weiß ich auch hier nicht was gemeint ist
Ich hoffe meine Vermutungen stimmen
[mm] {(x_1,x_2,x_3)^T \in \IR : x_1=x_2}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:59 Do 08.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo
>
> ich soll für ein paar Mengen überprüfen ob sie
> Unterräume sind.
vorweg: Wenn Du Mengenklammern [mm] $\{\}$ [/mm] schreiben willst, dann so: [mm] [nomm]$\{\}$[/nomm]:
[/mm]
>
> [mm]\{(x_1,x_2,x_3)^T \in \IR^{\red{3}} : x_1=x_2\}[/mm] erfüllt für mich die
> Axiome
Für mich auch! Kannst Du es denn auch beweisen?
> [mm]\{(x_1,x_2,x_3)^T \in \IR^{\red{3}} : x_1/2+x_3/2=x_2/4\}[/mm] ebenfalls
Für mich auch. Das sieht man sogar noch "schneller", wenn man die Menge schreibt als
[mm] $\{x=(x_1,x_2,x_3)^T \in \IR^3:\;<(x_1,\;x_2,\;x_3)^T,(1/2,\;-1/4,\;1/2)^T>\;=\;0\}\,.$
[/mm]
Dabei ist $<.,.>$ das Standardskalarprodukt des [mm] $\IR^3\,.$ [/mm] Man sieht hier, dass das eine Ursprungsebene des [mm] $\IR^3$ [/mm] ist - und man kann einen Normalenvektor dieser ablesen!
> [mm]\{(x_1,x_2,x_3)^T \in \IR : x_1^2+x_2^2=x_3^2\}[/mm] ich denke
> auch hier handelt es sich um einen Unterraum
Das bezweifle ich: [mm] $(3,4,5)^T$ [/mm] liegt in der Menge (nebenbei: dieses Tripel ist "standardmäßiges Bsp. bei Pythagoras"). Auch [mm] $(1,0,1)^T\,.$ [/mm] Was ist aber mit [mm] $(3,4,5)^T+(1,0,1)^T=(4,4,6)^T$? [/mm] Gilt [mm] $4^2+4^2=6^2$??
[/mm]
(Alternativ: Betrachte etwa [mm] $(1,0,1)^T$ [/mm] und [mm] $(1,0,-1)^T$!)
[/mm]
> [mm]\{(x_1,x_2,x_3,x_4)^T \in \IR^{\red{4}} : \text{genau }2 \text{ Koordinaten sind negativ}\}[/mm]
> hab keine Ahnung :/
Wenn negativ im Sinne von echt negativ gemeint ist, ist es einfach: Gehört der Nullvektor zu der Menge?
Wenn es im Sinne von NICHT ECHT POSITIV gemeint ist:
Addiere mal die Vektoren [mm] $(-1,-1,2,2)^T$ [/mm] und [mm] $(3,3,-1,-1)^T\,,$ [/mm] die beide zur Menge gehören!
> [mm]\{(\mu+\lambda,\lambda^2)^T \in \IR^{\red{2}} : \mu,\lambda \in \IR\}[/mm]
> leider weiß ich auch hier nicht was gemeint ist
Ein Vektor [mm] $(x_1,x_2)^T$ [/mm] gehört genau dann zur Menge, wenn es zwei Zahlen [mm] $\lambda,\mu \in \IR$ [/mm] so gibt, dass [mm] $x_1=\mu+\lambda$ [/mm] und [mm] $x_2=\lambda^2\,.$
[/mm]
Mit [mm] $\mu=\lambda=0$ [/mm] folgt, dass [mm] $(0,0)^T$ [/mm] in der Menge liegt. ABER:
Betrachte [mm] $(1,1)^T\,.$ [/mm] Dieser Vektor gehört zur Menge (setze etwa [mm] $(\mu,\lambda):=(0,1)$ [/mm] - auch [mm] $(\mu,\lambda):=(2,-1)$ [/mm] würde gehen).
Nun berechne ich [mm] $-1*(1,1)^T=(-1,-1)^T\,.$ [/mm] Würde dieser Vektor zu der Menge gehören, so müsste es also insbesondere ein [mm] $\tilde{\lambda} \in \IR$ [/mm] geben, so dass [mm] $\tilde{\lambda}^2=-1\,.$ [/mm] Also?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:08 Do 08.03.2012 | | Autor: | racy90 |
ja gewiesen hab ich auf meinen Zettel ,war mir nur so lang um alles abzutippen.Bei Menge 3 hab ich wohl zu ungenau geschaut
Die anderen 2 Mengen sind toll erklärt ,danke!!
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