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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:08 Di 13.02.2007 | | Autor: | dany1912 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Dimension von [mm] U:=>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\\ 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\\2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\3 \end{pmatrix} [/mm] und ergänzen Sie eine Basis von U durch geeignete Einheitsvektoren zu einer Basis des [mm] IR^4. [/mm] |
Hallo an alle Mathematiker!!!
Habe die Aufgabe gerechnet, wir hatten sie mal in einer früheren Übung. Allerdings haben wir das ganze damals mit LGS gelöst und ich habe es jetzt mit einer Matrix gerechnet.
Der erste Schritt hierbei ist ja, diese drei Vektoren auf lineare Unabhängigkeit zu überprüfen. Laut meiner Matrix ist [mm] x_3 [/mm] lin. abh. von [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2. [/mm] Das scheint aber schon nach alter Lösung falsch zu sein, da ist [mm] x_1 [/mm] lin. abh. von den anderen beiden. Kann in meiner Matrix keinen Fehler finden??!!
Als nächstes habe ich dann [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] durch die Einheitsvektoren [mm] e_1 [/mm] und [mm] e_2 [/mm] ergänzt. Der erste passt, der zweite ist wieder lin. abh. Also ganze Sache nochmal mit [mm] e_1 [/mm] und [mm] e_3, [/mm] was dann auch passte und mich darauf schließen ließ, dass:
> [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}< [/mm] Basis von U sein muss.
Warum erhalte ich mit Matrixberechnung ein anderes Ergebnis als mit LGS? Oder habe ich mich wirklich nur verrechnet?
Zur Kontrolle, dass [mm] x_3 [/mm] wirklich lin.abh. von den andern beiden ist, habe ich dem Parameter, denn ich für [mm] x_3 [/mm] gewählt habe, den Wert 1 gegeben und wenn es stimmen würde, müsste doch 1 mal [mm] x_1 [/mm] minus 2 mal [mm] x_2 [/mm] den Vektor [mm] x_3 [/mm] ergeben oder sehe ich das falsch? Es stimmt (rein theoretisch), aber wenn ich diese Art der Kontrolle mache, habe ich IMMER die richtigen Zahlen, aber mit falschem Vorzeichen. Hinweis: meine letzte Matrix, noch bei dem Schritt wo ich die 3 Vektoren auf lin. abh. überprüfe:
[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] (Frage: Wie schreib ich mit diesem Textprogramm größere als 2x2 Matrizen?)
Hoffe ihr versteht, was ich meine und könnt mir sagen, wo der Fehler steckt. Vielen Dank für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimmen Sie die Dimension von [mm]U:=>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\\ 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\\2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\3 \end{pmatrix}[/mm]
> und ergänzen Sie eine Basis von U durch geeignete
> Einheitsvektoren zu einer Basis des [mm]IR^4.[/mm]
> Der erste Schritt hierbei ist ja, diese drei Vektoren auf
> lineare Unabhängigkeit zu überprüfen. Laut meiner Matrix
> ist [mm]x_3[/mm] lin. abh. von [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2.[/mm]
Hallo,
das ist richtig. Es ist ja [mm] x_3=2x_2-x_1
[/mm]
Das scheint aber schon
> nach alter Lösung falsch zu sein, da ist [mm]x_1[/mm] lin. abh. von
> den anderen beiden. Kann in meiner Matrix keinen Fehler
> finden??!!
Es ist kein Fehler in Deiner Matrix.
Es ist [mm] x_1=2x_2-x_3
[/mm]
Du suchst eine möglichst große unabhängige Teilmenge von [mm] \{x_1, x_2, x_3\}.
[/mm]
Dafür gibt es mehrere Möglichkeiten, nämlich [mm] \{x_1, x_2\},\{x_1, x_3\},\{ x_2, x_3\}, [/mm] man kann sich nach seinem Gusto entscheiden bzw. das nehmen, was man zuerst findet.
> Also ganze Sache nochmal mit
> [mm]e_1[/mm] und [mm]e_3,[/mm] was dann auch passte und mich darauf
> schließen ließ, dass:
>
> > [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}<[/mm]
> Basis von U sein muss.
Basis von [mm] \IR^4 [/mm] meinst Du sicher. Denn Basis von U sind ja die beiden Vektoren, die Du eingangs gefunden hattest.
>
> Warum erhalte ich mit Matrixberechnung ein anderes Ergebnis
> als mit LGS? Oder habe ich mich wirklich nur verrechnet?
Wie gesagt: es gibt mehrere Möglichkeiten.
> (Frage: Wie schreib ich mit diesem Textprogramm größere
> als 2x2 Matrizen?)
Du nimmst die bei den Eingabehilfen vorbereitete 2x2-Matrix und kopierst sie ins Textfeld. Die kannst Du dann bearbeiten: durch zusätzliche "&" kannst Du Spalten zufügen, und mit [mm] \\ [/mm] ...&...&...&... kannst Du zusätzliche Zeilen bekommen.
>
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:05 Di 13.02.2007 | | Autor: | dany1912 |
Danke Angela!
Jetzt wo ich drüber nachdenke, es stimmt, es ist ja nirgends gesagt, dass es immer nur DIE EINE BASIS gibt, sondern man sucht ja eine von vielen, stimmts?
Also, jetzt ist alles klar, hatte dieses Problem nämlich bei mehreren Aufgaben und da fängt man dann doch an zu grübeln, ob man alles richtig macht, gerade dann, wenn man schon ne Lösung vorgegeben hat.
Danke nochmal!
VLG Daniela
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> Jetzt wo ich drüber nachdenke, es stimmt, es ist ja
> nirgends gesagt, dass es immer nur DIE EINE BASIS gibt,
> sondern man sucht ja eine von vielen, stimmts?
Genau, normalerweise gibt es mehrere bzw. viele Basen.
Eines allerdings haben die Basen ein und desselben Vektorraumes gemeinsam: die Anzahl ihrer Elemente. Das ist wichtig.
(Wäre das nicht so, wäre der ganze Dimensionsbegriff ja Blödsinn.)
Gruß v. Angela
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