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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:50 Fr 15.06.2007 | | Autor: | HannahO |
| Aufgabe | Es seien V ein K-Vektorraum und U1, U2 Unterräume von V. V heißt direkte Summe von U1 und U2
(Schreibweise V = U1 [mm] \oplus [/mm] U2 ) , wenn V = U1 + U2 und
U1 [mm] \cap [/mm] U2 = [mm] \emptyset [/mm] ist.
Beweisen Sie: V ist genau dann direkte Summe der Unterräume U1 und U2 , wenn jedes v [mm] \in [/mm] V sich
auf genau eine Weise schreiben lässt als v = u1 + u2 mit u1 [mm] \in [/mm] U1 und u2 [mm] \in [/mm] U2 . |
Hi,
hat jemand eine Idee wie man diesen Beweis führen kann?
Beweise sind sowieso nicht meine Stärke. Ich brauche Tipps,Ansätze und Ideeeeeen !!!
Danke ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es seien V ein K-Vektorraum und U1, U2 Unterräume von V. V
> heißt direkte Summe von U1 und U2
> (Schreibweise V = U1 [mm]\oplus[/mm] U2 ) , wenn V = U1 + U2 und
> U1 [mm]\cap[/mm] U2 = [mm]\emptyset[/mm] ist.
Um, nein, hier ist ein kleiner Fehler zu vermerken: Unterräume müssen immer mindestens den Nullvektor enthalten, deshalb kann der Durchschnitt von Unterräumen nicht, wie hier behauptet wird, leer sein. Aber man kann sagen, dass
[mm]U_1\cap U_2=\{\vec{0}\}[/mm] ist
> Beweisen Sie: V ist genau dann direkte Summe der
> Unterräume U1 und U2 , wenn jedes v [mm]\in[/mm] V sich
> auf genau eine Weise schreiben lässt als v = u1 + u2 mit
> u1 [mm]\in[/mm] U1 und u2 [mm]\in[/mm] U2 .
> Hi,
> hat jemand eine Idee wie man diesen Beweis führen kann?
Also Du hast zwei Richtungen zu beweisen.
[mm]\Rightarrow[/mm] Sei also der Gesamtraum [mm]V[/mm] die direkte Summe [mm]V=U_1\oplus U_2[/mm] seiner beiden Unterräume [mm]U_{1,2}[/mm]. Sei nun [mm]\vec{v}\in V[/mm] ein beliebiger Vektor von [mm]V[/mm] und seien [mm]\vec{v}=\vec{u}_1+\vec{u}_2[/mm] und [mm]\vec{v}=\vec{u'}_1+\vec{u'}_2[/mm] zwei Zerlegungen von [mm]\vec{v}[/mm], so dass [mm]\vec{u}_1, \vec{u'}_1\in U_1[/mm] und [mm]\vec{u}_2,\vec{u'}_2\in U_2[/mm]. Wir müssen zeigen, dass daraus folgt, dass [mm]\vec{u}_1=\vec{u'}_1[/mm] und [mm]\vec{u}_2=\vec{u'}_2[/mm] (Eindeutigkeit der Zerlegung).
Nun, aus [mm]\vec{v}=\vec{u}_1+\vec{u}_2 =\vec{u'}_1+\vec{u'}_2[/mm] folgt durch eine einfache Äquivalenztransformation, dass [mm]\vec{u}_1-\vec{u'}_1 = \vec{u'}_2-\vec{u}_2[/mm]. Der Vektor auf der linken Seite dieser Äquivalenz ist aber [mm]\in U_1[/mm] und der Vektor auf der rechten Seite ist [mm]\in U_2[/mm] (weshalb?).
Weil nun aber [mm]V[/mm] die direkte Summe von [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] ist (statt bloss deren Summe), folgt nun was? - Und schon bist Du mit dieser Richtung fertig.
[mm]\Leftarrow[/mm] Sei nun die Darstellung eines jeden Vektors [mm]\vec{v}\in V[/mm] als Summe je eines Vektors aus [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] nicht nur möglich, sondern sogar eindeutig. Da eine solche Darstellung für jeden Vektor von [mm]V[/mm] möglich ist, folgt, dass zumindest [mm]V=U_1+U_2[/mm] sein muss. Wir haben zusätzlich noch zu zeigen, dass [mm]U_1\cap U_2=\{\vec{0}\}[/mm] ist.
Und wie machen wir dies? - Betrachten wir einfach einen beliebigen Vektor [mm]\vec{v}\in U_1\cap U_2[/mm]. Wenn es uns gelingt zu zeigen, dass es sich um den Nullvektor handelt, sind wir fertig. Dies folgt aber sogleich daraus, dass sowohl [mm]\vec{v}=\vec{v}+\vec{0}[/mm] als auch [mm]\vec{v}=\vec{0}+\vec{v}[/mm] Zerlegungen von [mm]\vec{v}[/mm] in zwei Vektoren, einen ersten aus [mm]U_1[/mm] und einen zweiten aus [mm]U_2[/mm], sind. Nun verwendest Du die vorausgesetzte Eindeutigkeit einer solchen Zerlegung um messerscharf auf [mm]\vec{v}=\vec{0}[/mm] zu schliessen.
> Beweise sind sowieso nicht meine Stärke.
Meine Güte, Du rechnest wohl lieber?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Sa 16.06.2007 | | Autor: | HannahO |
Zusertmal danke für deine detaillierte Antwort :)
Weil nun aber V die direkte Summe von [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] ist (statt bloss deren Summe), folgt nun was?
ich hab direkte summe gegooglt und nicht verstanden :P
aber meinst du folgendes:
[mm] u_1-u'_1 \in U_1 [/mm] ist gleich [mm] u_2-u'_2 \in U_2 \Rightarrow [/mm] V= [mm] U_1+U_2 [/mm] ?!
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> Zusertmal danke für deine detaillierte Antwort :)
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> Weil nun aber V die direkte Summe von [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] ist
> (statt bloss deren Summe), folgt nun was?
Nun, da der Vektor [mm]\vec{u}_1-\vec{u'}_1[/mm] in [mm]U_1[/mm] liegt (es handelt sich ja um eine Summe von Vektoren aus [mm]U_1[/mm]), der Vektor [mm]\vec{u'}_2-\vec{u}_2[/mm] aber in [mm]U_2[/mm] (denn es handelt sich ja um eine Summe von Vektoren aus [mm]U_2[/mm]) und wir zudem gezeigt haben, dass [mm]\vec{u}_1-\vec{u'}_1 = \vec{u'}_2-\vec{u}_2[/mm] gilt, müssen diese beiden Vektoren in [mm]U_1\cap U_2[/mm] liegen. Da aber [mm]U_1\cap U_2=\{\vec{0}\}[/mm] ist, folgt [mm]\vec{u}_1-\vec{u'}_1 = \vec{0}[/mm] sowie [mm]\vec{u'}_2-\vec{u}_2=\vec{0}[/mm]. Was nichts anderes bedeutet, als dass [mm]\vec{u}_1=\vec{u'}_1[/mm] und [mm]\vec{u}_2=\vec{u'}_2[/mm]. Und dies war ja, was wir (zum Nachweis der Eindeutigkeit der Zerlegung des Vektors [mm]\vec{v}[/mm] in eine Summe mit einem Summanden aus [mm]U_1[/mm] und einem Summanden aus [mm]U_2[/mm]) haben zeigen müssen.
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> ich hab direkte summe gegooglt und nicht verstanden :P
>
> aber meinst du folgendes:
> [mm]u_1-u'_1 \in U_1[/mm] ist gleich [mm]u_2-u'_2 \in U_2 \Rightarrow[/mm]
> V= [mm]U_1+U_2[/mm] ?!
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