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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Do 01.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich wiederhole grad nochmal das Vektorraum-Kapitel und bin dabei auf zwei unterschiedliche Definitionen für einen Unterraum gestoßen.
Irgendwie sehe ich nicht, dass die beiden Definitionen doch gleich sind (also sollten sie ja wohl sein  )
Hier die erste Definition:
V ist ein Vektorraum über K. Eine Teilmenge $U [mm] \subset [/mm] V$ ist ein Unterraum von V, falls
a) [mm] $0_V \in [/mm] V$
b) [mm] $\forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] U: x+y [mm] \in [/mm] U$
c) [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] U, a [mm] \in [/mm] K: a*x [mm] \in [/mm] U$
So, hier die zweite Definition, sie unterscheidet sich eigentlich nur im Unterpunkt a):
V ist ein Vektorraum über K. Eine Teilmenge $U [mm] \subset [/mm] V$ ist ein Unterraum von V, falls
a) $U [mm] \not= \emptyset [/mm] $
b) [mm] $\forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] U: x+y [mm] \in [/mm] U$
c) [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] U, a [mm] \in [/mm] K: a*x [mm] \in [/mm] U$
Also wenn ich in Definition 1 sage, dass der Unterraum die 0 enthalten muss, dann geht es ja nicht anders, als das U nicht leer ist.
Aber wenn ich jetzt in Definition 2 sage, dass U nicht leer sein darf, dann könnte ich daraus nicht schließen, dass die 0 auf jeden Fall in U drin sein muss. Nicht leer zu sein, damit könnte doch erstmal jeder x-beliebige Vektor gemeint sein, der in U liegen muss.
Wie komme ich darauf, dass es ausgerechnet die 0 sein muss?
Vielen Dank.
LG Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:35 Do 01.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen!
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> Ich wiederhole grad nochmal das Vektorraum-Kapitel und bin
> dabei auf zwei unterschiedliche Definitionen für einen
> Unterraum gestoßen.
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> Irgendwie sehe ich nicht, dass die beiden Definitionen doch
> gleich sind (also sollten sie ja wohl sein )
>
> Hier die erste Definition:
>
> V ist ein Vektorraum über K. Eine Teilmenge [mm]U \subset V[/mm]
> ist ein Unterraum von V, falls
> a) [mm]0_V \in V[/mm]
> b) [mm]\forall x,y \in U: x+y \in U[/mm]
> c) [mm]\forall x \in U, a \in K: a*x \in U[/mm]
>
> So, hier die zweite Definition, sie unterscheidet sich
> eigentlich nur im Unterpunkt a):
>
> V ist ein Vektorraum über K. Eine Teilmenge [mm]U \subset V[/mm]
> ist ein Unterraum von V, falls
> a) [mm]U \not= \emptyset[/mm]
> b) [mm]\forall x,y \in U: x+y \in U[/mm]
> c) [mm]\forall x \in U, a \in K: a*x \in U[/mm]
>
> Also wenn ich in Definition 1 sage, dass der Unterraum die
> 0 enthalten muss, dann geht es ja nicht anders, als das U
> nicht leer ist.
>
> Aber wenn ich jetzt in Definition 2 sage, dass U nicht leer
> sein darf, dann könnte ich daraus nicht schließen, dass
> die 0 auf jeden Fall in U drin sein muss. Nicht leer zu
> sein, damit könnte doch erstmal jeder x-beliebige Vektor
> gemeint sein, der in U liegen muss.
>
> Wie komme ich darauf, dass es ausgerechnet die 0 sein
> muss?
Wende dies
c) $ [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] U, a [mm] \in [/mm] K: [mm] a\cdot{}x \in [/mm] U $
mit a = 0 an
FRED
>
> Vielen Dank.
>
> LG Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Do 01.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Fred.
Danke für deine schnelle Antwort.
> Wende dies
>
> c) [mm]\forall x \in U, a \in K: a\cdot{}x \in U[/mm]
>
> mit a = 0 an
Ok, also egal mit welchen Vektor x ich $a=0$ multipliziere, ich erhalte immer [mm] 0_V [/mm] als Ergebnis, und damit ist die $0$ zwingend im Unterraum?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 Do 01.10.2009 | | Autor: | iks |
Hi Nadine!
> > Wende dies
> >
> > c) [mm]\forall x \in U, a \in K: a\cdot{}x \in U[/mm]
> >
> > mit a = 0 an
>
> Ok, also egal mit welchen Vektor x ich [mm]a=0[/mm] multipliziere,
> ich erhalte immer [mm]0_V[/mm] als Ergebnis, und damit ist die [mm]0[/mm]
> zwingend im Unterraum?
>
>
>> LG, Nadine
Genau. Streng genommen bekommst du [mm] $0_U$ [/mm] als Ergebnis. Da aber [mm] $U\subset [/mm] V$ ist und da das Nullelement eindeutig bestimmt ist gilt [mm] $0_U=0_V$.
[/mm]
Beachte aber, das [mm] $a=0\in [/mm] K$ und [mm] $v=0\in [/mm] V$ im Allgemeinen zwei verschiedene Dinge sind. a ist Körperelement und v Element des Vektorraumes. Deshalb wird in der ersten Definition auch [mm] $0_V\in [/mm] U$ verlangt um diese Unterschiedung nochmals hervorzuheben.
Das kannst du dir an [mm] $\IR=K$ [/mm] und [mm] $\IR^2=V$ [/mm] ganz schnell auch selbst klarmachen - [mm] $0=a\in\IR\notin [/mm] V$.
War das deine Frage??
mFg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:40 Do 08.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo iks.
Ja, das war meine Frage.
Vielen Dank.
LG, Nadine
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