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Hallo,
ich habe eine Grundsätzliche Frage zum Thema Untervektorraum (Unterraum).
Um zu überprüfen ob ein Unterraum vorliegt müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
1. $0 [mm] \in [/mm] U$
2. [mm] $\vec{u}, \vec{v} \in [/mm] U [mm] \Rightarrow \vec{u} [/mm] + [mm] \vec{v} \in [/mm] U$
3. [mm] $\vec{u} \in [/mm] U , [mm] \lambda \in \IR \Rightarrow \lambda\vec{u} \in [/mm] U$
soviel zur Definition.... Die steht da zwar Schwarz auf Weiß nur kann ich damit nix anfangen. Das heißt ich habe keine Ahnung wie ich diese Bedingungen auf ein konkretes Beispiel anwenden soll.
Ich grüble jetzt seit Studen darüber und habe auch schon einige Erklärungen hier und in anderen Foren angeschaut, aber leider bringt mich das nicht weiter.... mir ist das alles zu abstrakt.
Daher meine Bitte:
Wenn jemand diese Regeln anhand einiger konkreter (zahlen)Beispiele erklären könnte, wäre ich sehr froh drum. Am besten sollte diese schön ausgearbeitet sein, dann bringt es auch den Mathenieten (inkl. meiner Wenigkeit) was.
Das kann doch nicht so kompliziert sein wie es mir momentan erscheint... seufz.....
Liebe Grüße Daniel
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:43 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Yohe |
Hallo!
Die Definition sagt ja im Grunde nur, dass eine Teilmenge eines
Vektorraums (hier über [mm] \IR) [/mm] genau dann ein Untervektoraum ist,
wenn die Teilmenge selbst ein VR ist. So vielleicht erst mal ein
Beispiel für einen VR: [mm] \IR^2. [/mm] Das ist die Menge aller (x,y) mit
[mm] x\in \IR [/mm] und [mm] y\in \IR.
[/mm]
[mm] (0,0)\in\IR, [/mm] also gilt 1)
[mm] (x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_1+y_1,x_2+y_2)\in\IR^2, [/mm] also gilt 2)
3) geht genauso.
Der [mm] \IR^2 [/mm] ist die reelle Zahleneben. Eine Teilmenge davon, die einen
UR bildet ist jede Gerade durch den Ursprung. Nehmen wir z.B.
y=3*x. Die Vektoren sind die Punkte auf dieser Geraden. Also liegt
z.B (3,1) und (6,2) in diesem UR. Die Summe davon, (9,3) liegt
wegen 9=3*3 ebenfalls drin.
Mit (3,1) liegt auch 5*(3,1)=(15,5) drin.
Und (nicht vergessen) (0,0) liegt ebenfalls auf der Geraden und somit im UR.
Damit ist jetzt für jedes UR-Gesetz eine Beispielrechnung gegeben.
Für den Beweis, dass y=3*x ein UR von
[mm] \IR^2 [/mm] ist, muß natürlich gezeigt werden, dass die Gesetze für
alle Vektoren aus dem UR gelten.
Ich hoffe das hilft dir erstmal weiter
Yohe
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