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| Aufgabe | Es sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und F: V -> V eine lineare Abbildung.
a) Zeigen Sie, dass die Menge der Fixpunkte Fix(F) :={v [mm] \in [/mm] V: F(v)= v} [mm] \subseteq [/mm] V von F ein linearer Unterraum von V ist.
b) Bestimmen Sie eine Basis von Fix(F) für folgendes F: [mm] R^4 [/mm] -> [mm] R^4:
[/mm]
x [mm] \mapsto \pmat{ 1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & 1 } [/mm] *x
c) Ergänzen Sie ihre Basis aus b) zu einer Basis des [mm] R^4. [/mm] |
Hallo,
kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?
zu a) also, wie man einen Unterraum bestimmt weiß ich.
i) die 0 muss enthalten sein
ii) [mm] \lambda, [/mm] x [mm] \in [/mm] U, [mm] \lambda+x \in [/mm] U
iii) [mm] \lambda*x \in [/mm] U
Aber wie wirkt sich dieses Fix darauf aus?
Bilde ich bei der b einfach nur die Zeilenstufenform der Matrix? Und was meinen die mit c??? Könnt ihr mir helfen??? Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und F: V -> V eine
> lineare Abbildung.
> a) Zeigen Sie, dass die Menge der Fixpunkte Fix(F) [mm] :=\{v
\in V: F(v)= v\}[/mm] [mm]\subseteq[/mm] V von F ein linearer Unterraum
> von V ist.
> b) Bestimmen Sie eine Basis von Fix(F) für folgendes F:
> [mm]R^4[/mm] -> [mm]R^4:[/mm]
> x [mm]\mapsto \pmat{ 1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & 1 }[/mm]
> *x
> c) Ergänzen Sie ihre Basis aus b) zu einer Basis des [mm]R^4.[/mm]
> Hallo,
> kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?
> zu a) also, wie man einen Unterraum bestimmt weiß ich.
> i) die 0 muss enthalten sein
> ii) [mm]\lambda,[/mm] x [mm]\in[/mm] U, [mm]\lambda+x \in[/mm] U
> iii) [mm]\lambda*x \in[/mm] U
Hallo,
ein paar kleine feine Ergänzungen und Korrekturen zum Unterraum:
zu ii) Man sollte vermeiden, sich selbst zu verwirren. Du arbeistest gerade daran, indem Du ein Element von U [mm] \lambda [/mm] nennst.
Benenne Objekte von derselben Art mit Buchstaben von derselben Art.
Also: für alle [mm] x,y\in [/mm] U gilt x+y [mm] \in [/mm] U.
zu iii) [mm] \lambda [/mm] ist ja kein Vektor, sondern ein Element des Körpers.
Also: für alle [mm] \lambda \in [/mm] K und für alle [mm] x\in [/mm] U [mm] gilt:\lambda x\in [/mm] U.
> Aber wie wirkt sich dieses Fix darauf aus?
Du willst jetzt prüfen, ob Fix(F) ein UVR von V ist.
Also mußt Du nachschauen
i) ob die Null drin liegt.
Woran merkst Du das? Wenn F(0)=0, dann ist [mm] 0\in [/mm] Fix(F).
Ob das so ist, mögest Du entscheiden.
ii) folgt aus x,y [mm] \in [/mm] Fix(F), daß x+y [mm] \in [/mm] Fix(F)?
Dazu überlege Dir, was es bedeutet, wenn x und y in Fix(F) liegen.
Berechne dann F(x+y)
iii) Ist für alle [mm] \lambda\in [/mm] K und für alle x [mm] \in [/mm] Fix(F) [mm] \lambda [/mm] x [mm] \in [/mm] Fix(F)?
Das geht ähnlich wie ii)
> Bilde ich bei der b einfach nur die Zeilenstufenform der
> Matrix?
Wofür sollte das gut sein? Was willst Du damit tun?
Du sollst ja eine Basis von Fix(F) bestimmen. (Daß es ein VR ist, hast Du in a) gezeigt. Also ist die Frage nach der Basis sinnvoll)
Schauen wir doch nochmal Fix(F) an. Was liegt in diesem Raum? Alle Fixpunkte von F, also die [mm] x\in [/mm] V mit F(x)=x,
mit der Matrix geschrieben
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & 1 }*x=x
[/mm]
<==>
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & 1 }*x-x
[/mm]
[mm] =\pmat{ 1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & 1 }*x-E_4x=0
[/mm]
[mm] <==>(\pmat{ 1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & 1} -E_4)*x=0
[/mm]
Das bedeutet, daß Du den Kern (bzw. eine Basis desselben) von
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & 1} -E_4
[/mm]
berechnen mußt.
In der Tat klannst Du DAFÜR die Zeilenstufenform dann gut gebrauchen.
> Und was meinen die mit c???
Tja, was meinen die damit? Eigentlich das, was da steht.
Wenn Du die Basis von Fix(F) gefunden hast, sollst Du sie zu einer Basis des [mm] \IR^4 [/mm] ergänzen. Mehr Erklärendes fällt mir dazu nicht ein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Sa 09.06.2007 | | Autor: | Millili |
> Du sollst ja eine Basis von Fix(F) bestimmen. (Daß es ein
> VR ist, hast Du in a) gezeigt. Also ist die Frage nach der
> Basis sinnvoll)
>
> Schauen wir doch nochmal Fix(F) an. Was liegt in diesem
> Raum? Alle Fixpunkte von F, also die [mm]x\in[/mm] V mit F(x)=x,
>
> mit der Matrix geschrieben
>
> [mm]\pmat{ 1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & 1 }*x=x[/mm]
>
> <==>
>
> [mm]\pmat{ 1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & 1 }*x-x[/mm]
Hallo Angela, mir leuchtet irgendwie nicht ein wie genau du auf diesen Schritt hier gekommen bist, also x-E4x.
Könntest du das eventuell noch einmal näher erläutern, das wäre klasse...
> [mm]=\pmat{ 1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & 1 }*x-E_4x=0[/mm]
>
> [mm]<==>(\pmat{ 1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & 1} -E_4)*x=0[/mm]
>
> Das bedeutet, daß Du den Kern (bzw. eine Basis desselben)
> von
>
> [mm]\pmat{ 1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & 1} -E_4[/mm]
>
> berechnen mußt.
>
> In der Tat klannst Du DAFÜR die Zeilenstufenform dann gut
> gebrauchen.
Könntest du hier vllt den Begriff des Kerns(f) erläutern. Zwar hatten wir in der Vorlesung die definition, aber bildlich kann ich mir das nicht vorstellen und wüsste demnach auch nicht was hier zu tun wäre.
Vielen Dank schonmal, Millili
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 Sa 09.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Milli
So wie du im 1-d statt x manchmal besser 1*x schreibst, weil du es dann besser von 5*x abziehen kannst, und die Gleichung
5x=x umformst in (5-1)x=0 (das ist dir nur schon von allein klar)
schreibst und denkst du in 4d [mm] x=E_4*x [/mm] dann kannst du es besser von A*x abziehen, denn du hast dann [mm] (A-E_4)*x=0 [/mm] statt Ax=x
Dass [mm] E_4 [/mm] die Matrix mit 1 in der Diagonalen, sonst 0 ist weisst du?)
Die x, die die Gleichung oben lösen liegen im Kern von [mm] A-E_4
[/mm]
Alle Vektore, die von Einer Abb.F auf den 0-vektor abgebildet werden bilden, bilden den Kern von F.
anschaulich: Wenn eine Abbildung den [mm] \IR^3 [/mm] nur dreht, ist der Kern nur die 0. Wenn eine Abbildung den [mm] \IR^3 [/mm] auf eine Ebene projiziert, besteht der Kern aus dem Vektor senkrecht auf der Ebene.und seinen Vielfachen.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Sa 09.06.2007 | | Autor: | Millili |
OKay, das habe ich soweit verstanden. Das heißt, ich muss A-E4 auf den Nullvektor abbilden?NUr da es ja der Kern von Fix(F )sein soll, kann ich dann nicht eigentlich nur den Nullvektor auf den Nullvektor abbilden? Irgendwie bin ich gerade recht verwirrt...
LG, Millili
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> OKay, das habe ich soweit verstanden. Das heißt, ich muss
> A-E4 auf den Nullvektor abbilden?
Nein.
Du mußt gucken, welche x durch [mm] A-E_4 [/mm] auf die Null abgebildet werden.
Also die Lösung von [mm] (A-E_4)x=0 [/mm] bestimmen, womit wir wieder beim Kern von [mm] A-E_4 [/mm] wären.
> NUr da es ja der Kern von
> Fix(F )sein soll
Hä? Was soll denn das darstellen?
Wir können den Kern von Abbildungen/Matrizen bestimmen.
Fix(F) hingegen ist eine Menge. Eine Teilmenge des Vektorraumes V. Sogar ein UVR von V. In diesem Zusammenhang von Kern zu reden ist also sinnlos. (Es passiert trotzdem. Nicht nur Dir. Wichtig ist, daß Du einsiehst, daß es Quatsch ist.)
> kann ich dann nicht eigentlich nur den Nullvektor auf den Nullvektor abbilden?
Wir sind uns also einig, daß wir zum Abbilden eine Abbildung brauchen.
Und da es hier gerade um lineare Abbildungen geht, sprechen wir nun über diese.
Also: Für JEDE lineare Abbildung gilt, daß sie die Null auf die Null abbildet.
Wenn jedoch die lineare Abbildung nicht injektiv ist, besteht ihr Kern aus mehr als aus dem Nullvektor.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 So 10.06.2007 | | Autor: | Millili |
Also , wenn ich in dem Fall [mm] (A-\E_{4})*x [/mm] berechne, wäre das doch in Matrixform:
[mm] (\pmat{ 1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & 1& }- \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1& }) [/mm] x oder?
Nur wenn ich das mache, habe ich bei [mm] A-E_{4}
[/mm]
[mm] (\pmat{ 0 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & 0 & }
[/mm]
Dan hätt ich aber doch als Lösung zwei Variablen, die ich frei wählen könnte?
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> Also , wenn ich in dem Fall [mm](A-\E_{4})*x[/mm] berechne, wäre das
> doch in Matrixform:
>
> [mm](\pmat{ 1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & 1& }- \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1& })[/mm]
> x oder?
> Nur wenn ich das mache, habe ich bei [mm]A-E_{4}[/mm]
>
> [mm](\pmat{ 0 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & 0 & }[/mm]
>
> Dan hätt ich aber doch als Lösung zwei Variablen, die ich
> frei wählen könnte?
Hallo,
ja.
Das bedeutet, daß der Kern von [mm] (A-E_4) [/mm] zweidimensional ist, also von zwei Vektoren aufgespannt wird.
Die mußt Du nun noch bestimmen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 So 10.06.2007 | | Autor: | Millili |
Gut, also zum Bestimmen bin ich das dann jetzt so angegangen, dass ich mir die beiden Lösungssysteme angeguckt habe.
1. [mm] x_{1}+ 4x_{3} [/mm] =0 [mm] \Rightarrow x_{1}= -4x_{3}
[/mm]
2. [mm] 3x_{2}+2x_{4}=0 \Rightarrow x_{4}= -\bruch{3}{2}x_{2}
[/mm]
Und habe daraus die beiden Vekoren
y1: [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -4} [/mm] und y2: [mm] \vektor{0\\ -\bruch{3}{2} \\ 0 \\ 1}
[/mm]
"gebaut". Weil mit den beiden müsste ich doch dann prinzipiell alle Punkte im Kern(f) erreichen können ...Und wären Sie dann auch nicht schon linear Unabhängig und minimals Erzeugendensystem, so dass sie dann die Basis bilden? Oder hab ich mich jetzt total vertan?
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> Gut, also zum Bestimmen bin ich das dann jetzt so
> angegangen, dass ich mir die beiden Lösungssysteme
Gleichungen
> angeguckt habe.
>
> 1. [mm]x_{1}+ 4x_{3}[/mm] =0 [mm]\Rightarrow x_{1}= -4x_{3}[/mm]
> 2.
> [mm]3x_{2}+2x_{4}=0 \Rightarrow x_{4}= -\bruch{3}{2}x_{2}[/mm]
Bis hierher ist es richtig.
[mm] x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] können frei gewählt werden.
>
> Und habe daraus die beiden Vekoren
>
> y1: [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -4}[/mm] und y2: [mm]\vektor{0\\ -\bruch{3}{2} \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> "gebaut".
Die sind miußglückt, keine Ahnung warum.
Aus Deinen Gleichungen oben weißt Du ja, daß sämtliche Lösungen die Gestalt
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4}=\vektor{-4r \\ s \\ r \\ -\bruch{3}{2}s}=r\vektor{-4 \\ 0 \\ 1 \\ 0}+s\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ -\bruch{3}{2}}
[/mm]
haben, r,s [mm] \in \IR.
[/mm]
Sämtliche Lösungen lassen sich alsoals Linearkombination von [mm] \vektor{-4 \\ 0 \\ 1 \\ 0}und \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ -\bruch{3}{2}} [/mm] darstellen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 So 10.06.2007 | | Autor: | Millili |
Naja, ich weiß wieso die missglückt sind...Ich hatte sie erst so wie du sie jetzt aufgeschrieben hast, dann gemeint ich müsste es andersherum machen-Denkfehler meinerseits- und mich dann auch noch verschrieben;)
Okay und bei der d) müssen doch dann jetzt quasi noch Vektoren hinzugefügt werden mit denen dann der komplette [mm] \IR^4 [/mm] aufgespannt werden kann?
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> Naja, ich weiß wieso die missglückt sind...Ich hatte sie
> erst so wie du sie jetzt aufgeschrieben hast, dann gemeint
> ich müsste es andersherum machen-Denkfehler meinerseits-
> und mich dann auch noch verschrieben;)
Wichtig ist, daß es Dir jetzt klar ist, denn das sind Dinge, die Du immer wieder benötigst.
Wenn Du sie der Türklinke plausibel erklären kannst, ist's gut - ein lebendiger Kommilitone wäre besser...
>
> Okay und bei der d) müssen doch dann jetzt quasi noch
> Vektoren hinzugefügt werden mit denen dann der komplette
> [mm]\IR^4[/mm] aufgespannt werden kann?
Genau.
Gruß v. Angela
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ich habe eine Frage zu a)
Ich habe geschrieben:
Sei [mm] \overline{F} [/mm] ein Unterraum von V. Dann ist 0=F(0) [mm] \in \overline{F}
[/mm]
F(o+o)= F(0)+ F(0)= F(0)
Also ist 0 [mm] \in [/mm] Fix(F).
Sind u,v [mm] \in [/mm] Fix(F), dann sind F(u), F(v) [mm] \in \overline{F}, [/mm] woraus F(u+v)= F(u)+ F(v) [mm] \in \overline{F} [/mm] folgt
Deshalb ist u+v [mm] \in [/mm] Fix(F).
Sei c [mm] \in [/mm] K und u [mm] \in [/mm] Fix(F). Dann ist F(cu)= F(u)c [mm] \in \overline{F} [/mm] , d.h. uc [mm] \in [/mm] Fix(F). Also ist Fix(F) ein Unterraum von V
Ist das so richtig?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 So 10.06.2007 | | Autor: | Millili |
> ich habe eine Frage zu a)
> Ich habe geschrieben:
> Sei [mm]\overline{F}[/mm] ein Unterraum von V. Dann ist 0=F(0) [mm]\in \overline{F}[/mm]
>
> F(o+o)= F(0)+ F(0)= F(0)
> Also ist 0 [mm]\in[/mm] Fix(F).
Hier kannst du doch auch so argumentieren:
z.Z. 0 [mm] \in [/mm] Fix(F).
Da F eine lineare Abbildung ist, wird die Null auf die Null abgebildet. Also F(0) =0 [mm] \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \in [/mm] Fix(F). Denn in Fix(F) liegen ja, all die Elemente, für die gilt F(x)=x.
Deswegen verstehe ich nicht, wieso du noch ein [mm] \overline{F} [/mm] genommen hast?
Weil man kann doch eigentlich in allen drei Fällen, Elemente aus Fix(F) nehmen und damit argumentieren, dass F eine lineare Abbildung ist oder nicht?
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> Weil man kann doch eigentlich in allen drei Fällen,
> Elemente aus Fix(F) nehmen und damit argumentieren, dass F
> eine lineare Abbildung ist oder nicht?
>
Ja.
So MUSS man es machen.
Gruß v. Angela
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> ich habe eine Frage zu a)
> Ich habe geschrieben:
> Sei [mm]\overline{F}[/mm] ein Unterraum von V. Dann ist 0=F(0) [mm]\in \overline{F}[/mm]
Hallo,
was soll dieses [mm] \overline{F} [/mm] sein?
Du führst es als irgendeinen Unterraum von V ein.
Nun, daß die Null darin liegt, ist keine Überraschung, sondern eine Folge der Untervektorraumeigenschaft.
Nur - Du möchtest ja jetzt nicht ganz allgemein erzählen, was so alles auf irgendwelche Unterräume von V zutrifft, sondern es geht darum zu zeigen, daß Fix(F) ein Unterraum von V ist.
Hierzu mußt Du zeigen, daß alle Unterraumeigenschaften auf Fix (F) zutreffen.
Bevor Du anfängst, beantworte Dir diese Frage:
woran erkennt man, daß [mm] x\in [/mm] Fix(F) ?
Nun zum UVR-Nachweis:
1. Es ist
>
> F(o+o)= F(0)+ F(0)
=???,
> Also ist 0 [mm]\in[/mm] Fix(F).
2.
> Sind u,v [mm]\in[/mm] Fix(F), dann sind F(u), F(v) [mm]\in \overline{F},[/mm]
Wieso sollen die in [mm] \overline{F} [/mm] sein? Diese Menge hast Du doch gar nicht weiter definiert, sondern lediglich als "ein Unterraum von V" eigeführt.
F(u),F(v) sind sicher im Bild von F, aber das interessiert hier nicht, sondern die Frage, ob u+v ein Fixpunkt ist.
Seien also
> u,v [mm]\in[/mm] Fix(F)
> woraus F(u+v)= F(u)+ F(v)
=???
> Deshalb ist u+v [mm]\in[/mm] Fix(F).
> Sei c [mm]\in[/mm] K und u [mm]\in[/mm] Fix(F). Dann ist F(cu)= F(u)c
=???
> , d.h. uc [mm]\in[/mm] Fix(F). Also ist Fix(F) ein Unterraum von V
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:11 So 10.06.2007 | | Autor: | Millili |
Ja , nachdem du nochmal hingeschrieben hattest, wie man genau auf die beiden vektoren kommt, habe ich es verstanden:) Danke für deine Hilfe!, Millili
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