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Unterraum Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:02 Sa 23.04.2016
Autor: pc_doctor

Aufgabe
V bezeichne den Vektorraum der stetigen Funktionen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] über dem Körper [mm] \IR, [/mm] dabei werden Addition von Funktionen und Multiplikation mit Skalaren punktweise auf den Funktionswerten definiert.
Welche der folgenden Teilmengen sind Unterräume von V?

D= {f [mm] \in [/mm] V | [mm] (f(-1))^2 [/mm] = [mm] (f(1))^2} [/mm]

E = {f [mm] \in [/mm] V| f ist schwach monoton wachsend oder fallend}




Hallo,


also für D weiß ich nicht, wie ich rechnen soll.

Für Unterräume muss gelten:

1) D [mm] \not= \emptyset [/mm]

2) [mm] \forall [/mm] f,g [mm] \in [/mm] D gilt: f+g [mm] \in [/mm] D

3) [mm] \forall \lambda \in \IR [/mm] gilt: [mm] \lambda*f \in [/mm] D

Mir fällt nur diese Vorgehensweise ein:

1) D ist nicht leer.

2) Beweis der Abgeschlossenheit bezüglich Addition:
[mm] ((f+g)(-1))^2 [/mm] = ... [mm] =...=...((f+g)(1))^2 [/mm]

Wie soll ich hier rechnen? Einfach das ganze ausklammern?
Wie sieht [mm] ((f+g)(-1))^2 [/mm] überhaupt aus? Löst man das mithilfe der binomischen Formel einfach auf? Darf man das?

Vielen Dank im Voraus.

        
Bezug
Unterraum Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:38 Sa 23.04.2016
Autor: angela.h.b.


> V bezeichne den Vektorraum der stetigen Funktionen von [mm]\IR[/mm]
> nach [mm]\IR[/mm] über dem Körper [mm]\IR,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

dabei werden Addition von

> Funktionen und Multiplikation mit Skalaren punktweise auf
> den Funktionswerten definiert.
> Welche der folgenden Teilmengen sind Unterräume von V?
>  
> D= {f [mm]\in[/mm] V | [mm](f(-1))^2[/mm] = [mm](f(1))^2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  
> E = {f [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

V| f ist schwach monoton wachsend oder fallend}

>  
>
>
> Hallo,
>  
>
> also für D weiß ich nicht, wie ich rechnen soll.
>  
> Für Unterräume muss gelten:
>  
> 1) D [mm]\not= \emptyset[/mm]
>  
> 2) [mm]\forall[/mm] f,g [mm]\in[/mm] D gilt: f+g [mm]\in[/mm] D
>  
> 3) [mm]\forall \lambda \in \IR[/mm] gilt: [mm]\lambda*f \in[/mm] D
>  
> Mir fällt nur diese Vorgehensweise ein:

Hallo,

>  
> 1) D ist nicht leer.

und wenn ich das nicht glaube?
Du müßtest hier eine Funktion angeben.

>  
> 2) Beweis der Abgeschlossenheit bezüglich Addition:
>  [mm]((f+g)(-1))^2[/mm] = ... [mm]=...=...((f+g)(1))^2[/mm]
>  
> Wie soll ich hier rechnen? Einfach das ganze ausklammern?

Du mußt den Regeln entsprechend rechnen.

Seien f,g [mm] \in [/mm] D.
Dann gilt [mm] (f(-1))^2=(f(1))^2 [/mm] und [mm] (g(-1))^2=(g(1))^2. [/mm]

Es ist

[mm] ((f+g)(-1))^2=(f(-1)+g(-1))^2 \qquad [/mm] nach Def. der Addition v. Funktionen

= [mm] (f(-1)^2+2f(-1)g(-1)+ (g(-1))^2 \qquad [/mm] Rechnen in den reellen Zahlen

=...

=...

[mm] =((f+g)(1))^2 [/mm]

LG Angela


> Wie sieht [mm]((f+g)(-1))^2[/mm] überhaupt aus? Löst man das
> mithilfe der binomischen Formel einfach auf? Darf man das?
>  
> Vielen Dank im Voraus.  


Bezug
                
Bezug
Unterraum Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:56 Sa 23.04.2016
Autor: pc_doctor

Hallo,

eine Funktion anzugeben, um zu zeigen, dass D nicht leer ist, wäre zum Beispiel so eine:

f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm]
f(x) = [mm] x^{2} [/mm]

Zurück zu der Rechnung:

$ [mm] ((f+g)(-1))^2=(f(-1)+g(-1))^2 \qquad [/mm] $ nach Def. der Addition v. Funktionen

= $ [mm] (f(-1)^2+2f(-1)g(-1)+ (g(-1))^2 \qquad [/mm] $ Rechnen in den reellen Zahlen

= [mm] (f(1))^2 [/mm] + 2f(-1)g(-1) + [mm] (g(1))^2 [/mm]

Wie bekomme ich den zweiten Summanden weg? Muss ich hier irgendwie umformen?

Denn bis jetzt habe ich ja nur folgendes:
[mm] ((f+g)(1))^2 [/mm] + 2f(-1)g(-1)

hierhin muss ich:
$ [mm] =((f+g)(1))^2 [/mm] $

Bezug
                        
Bezug
Unterraum Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:03 Sa 23.04.2016
Autor: angela.h.b.


> Hallo,
>  
> eine Funktion anzugeben, um zu zeigen, dass D nicht leer
> ist, wäre zum Beispiel so eine:
>  
> f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm]
>  f(x) = [mm]x^{2}[/mm]
>  
> Zurück zu der Rechnung:
>  
> [mm]((f+g)(-1))^2=(f(-1)+g(-1))^2 \qquad[/mm] nach Def. der Addition
> v. Funktionen
>
> = [mm](f(-1))^2+2f(-1)g(-1)+ (g(-1))^2 \qquad[/mm] Rechnen in den
> reellen Zahlen
>
> = [mm](f(1))^2[/mm] + 2f(-1)g(-1) + [mm](g(1))^2[/mm]


>  
> Wie bekomme ich den zweiten Summanden weg? Muss ich hier
> irgendwie umformen?
>
> Denn bis jetzt habe ich ja nur folgendes:
>  [mm]((f+g)(1))^2[/mm] + 2f(-1)g(-1)
>
> hierhin muss ich:
>  [mm]=((f+g)(1))^2[/mm]


Tja.
Hast Du denn mal an ein paar Beispielen geprüft, ob es überhaupt stimmt, daß die Summe zweier Funktionen aus D wieder in D liegt?

LG Angela


Bezug
                                
Bezug
Unterraum Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:12 Sa 23.04.2016
Autor: pc_doctor

Hallo,

ich habe es gerade mit f(x) = x² und g(x)= [mm] x^4 [/mm] probiert.

In diesem Fall ist [mm] ((f+g)(-1))^2 [/mm] = [mm] ((f+g)(1))^2 [/mm] , für diese konkreten f(x) und g(x) gilt diese Gleichheit.

Wenn ich aber eine Funktion mit einer ungeraden Potenz nehme, dann zerstöre ich doch die Eigenschaft, dass [mm] (f(-1))^2 [/mm] = [mm] (f(1))^2 [/mm] , denn diese Eigenschaft gilt doch nur, wenn man Funktionen mit geradem Exponenten hat. Deshalb fällt es mir schwer, das zu widerlegen.

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Bezug
Unterraum Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:29 Sa 23.04.2016
Autor: angela.h.b.


> Hallo,
>  
> ich habe es gerade mit f(x) = x² und g(x)= [mm]x^4[/mm] probiert.
>  
> In diesem Fall ist [mm]((f+g)(-1))^2[/mm] = [mm]((f+g)(1))^2[/mm] , für
> diese konkreten f(x) und g(x) gilt diese Gleichheit.
>  
> Wenn ich aber eine Funktion mit einer ungeraden Potenz
> nehme, dann zerstöre ich doch die Eigenschaft, dass
> [mm](f(-1))^2[/mm] = [mm](f(1))^2[/mm] , denn diese Eigenschaft gilt doch
> nur, wenn man Funktionen mit geradem Exponenten hat.
> Deshalb fällt es mir schwer, das zu widerlegen.  

Hallo,

schau doch mal die Funktionen mit [mm] f(x):=x^3 [/mm] und  [mm] g(x)=5x^2. [/mm]

Was ist f(1)? f(-1)? [mm] (f(1))^2? (f(-1))^2? [/mm]
Was ist g(1)? g(-1)? [mm] (g(1))^2? (g(-1))^2? [/mm]

Sind f und g in D?


Was ist (f+g)(x)?

Was ist (f+g)(1)?
Was ist (f+g)(-1)?
Was ist [mm] ((f+g)(1))^2? [/mm]
Was ist [mm] ((f+g)(-1))^2? [/mm]

Und?

LG Angela


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Unterraum Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:35 Sa 23.04.2016
Autor: pc_doctor

Hallo,
sorry für die späte Antwort.

Also, wenn wir f(x) = [mm] x^3 [/mm] und g(x) = [mm] 5x^2 [/mm] haben,
dann ist

[mm] (f(-1))^2 [/mm] = 1 = [mm] (f(1))^2 [/mm] , passt

[mm] (g(-1))^2 [/mm] = 25 = [mm] (g(1))^2, [/mm] passt auch

f und g sind also in D

Die Frage, ob [mm] ((f+g)(-1))^2 [/mm] = [mm] ((f+g)(1))^2 [/mm] ist:

[mm] ((f+g)(-1))^2 [/mm] = [mm] (f(-1))^2 [/mm] + [mm] 2f(-1)g(-1)+(g(-1))^2 [/mm]
= 1-2*5+25 = 16


[mm] ((f+g)(1))^2 [/mm] = [mm] (f(1))^2 [/mm] + [mm] 2f(1)g(1)+(g(1))^2 [/mm]
= 1+10+25 = 36

Es gilt also nicht [mm] ((f+g)(-1))^2 [/mm] = [mm] ((f+g)(1))^2 [/mm] , es ist [mm] ((f+g)(-1))^2 \not= ((f+g)(1))^2 [/mm]

Damit ist D kein Unterraum.

Ist das richtig?



Bezug
                                                        
Bezug
Unterraum Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:37 So 24.04.2016
Autor: leduart

Hallo
ja
Gruß leduart

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Unterraum Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:34 Sa 23.04.2016
Autor: leduart

Hallo klar, wenn du 2 sym fkt addierst ist das Ergebnis wieder sym.
was ist mit [mm] x^2 [/mm] und [mm] x^3? [/mm]
du kannst auch direkt sehen aus [mm] f^2(-1)=f^2(1) [/mm]  folgt f(-1)=+-f(1) jetzt gibt es für f(1)*g(1) 3 Möglichkeiten.
gruß ledum

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Bezug
Unterraum Beweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:00 Sa 23.04.2016
Autor: tobit09

Hallo zusammen!


> Du mußt den Regeln entsprechend rechnen.
>  
> Seien f,g [mm]\in[/mm] D.
>  Dann gilt [mm](f(-1))^2=(f(1))^2[/mm] und [mm](g(-1))^2=(g(1))^2.[/mm]
>  
> Es ist
>
> [mm]((f+g)(-1))^2=(f(-1)+g(-1))^2 \qquad[/mm] nach Def. der Addition
> v. Funktionen
>  
> = [mm](f(-1)^2+2f(-1)g(-1)+ (g(-1))^2 \qquad[/mm] Rechnen in den
> reellen Zahlen
>  
> =...
>  
> =...
>  
> [mm]=((f+g)(1))^2[/mm]

Das ist die typische Vorgehensweise, wenn Eigenschaft 2) gezeigt werden soll.

Soll 2) hingegen widerlegt werden, benötigen wir ein konkretes Beispiel von Funktionen [mm] $f,g\in [/mm] D$ mit der Eigenschaft [mm] $f+g\notin [/mm] D$.


Viele Grüße
Tobias

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