Unterraum, Dimension; Basis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 So 07.05.2006 | | Autor: | homme |
| Aufgabe | Sei U dfie Menge aller harmonischen Schwingungen f(t) = A*sin([mm] \pi [/mm]*t +t(0)) mit A> 0, t(0) [mm] \in [/mm] [mm] \IR [/mm] und mit der Frequenz pi. Ist U Unterraum von C [0, 2]?
t(0) ist eine bliebige Konstante.
Sei U die Menge aller Polynome p vom Grad < 4 mit der Eigenschaft p(0) =p(1) = 0. Ist U Unterraum von C [0,1]? Wenn ja, gebe man die Dimension und eine Basis von U an.
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Mein Problem ist jetzt, dass ich nicht weiß was mit "Unterraum von C [0,2] gemeint ist. Die Begriffe Unterraum, Basis, Dimension sind mir an sich bekannt. Aber wie ich eine solche Aufgabe angehen soll, weiß ich nicht. Habe aus diesem Grund auch keinen Lösungsversuch. Würde mich sehr freuen, wenn mir bitte jemand helfen könnte, wie man solche Aufgaben lösen kann. Vielen Dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:43 So 07.05.2006 | | Autor: | MatthiasKr |
Hallo homme,
mir ist leider nicht ganz klar, wie dein $f$ definiert ist. Was heißt denn $t(0)$? und steht das wirklich unter dem sinus? es gibt übrigens einen sehr schönen formeleditor hier im forum.... 
VG
Matthias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:10 So 07.05.2006 | | Autor: | choosy |
Also bei den schwingungen ist mir die formulierung nicht ganz klar,
bei den polynomen kann ich dir helfen:
(C[0,1] ist i.A. der Raum der auf [0,1] stetigen funktionen)
Für den unterraum musst du folgendes nachrechnen:
1. $p(x) = 0 [mm] \in [/mm] U$
[mm] 2.$f,g\in [/mm] U [mm] \Rightarrow f+g\in [/mm] U$
[mm] 3.$p\in [/mm] U, [mm] a\in K\Rightarrow a*p\in [/mm] U$
die erste eigenschaft ist klar, da p(x)=0 ein polynom mit den geforderten eigenschaften ist. die 2. und 3. eigenschaft sind auch praktisch offensichtlich, denn wenn ich 2 polynome addiere, ist das ergebniss wieder ein polynom und es ist
(f+g)(0)=f(0)+g(0)=0 (ganauso für x=1)
für die multiplikation gehts genauso...
eigentlich interessant ist die Frage nach der Basis und der dimension.
die dimension ist ja einfach die anzahl der basis elemente, also zunächst die Basis:
Eine basis muss den raum erzeugen (das heisst ein polynom ist linearkombination der basiselemente)
am einfachsten nehmen wir da
[mm] $B=(x,x^2,x^3,x^4)$ [/mm] (die 1, bzw [mm] $x^0$ [/mm] benötogen wir nicht, da die polynome aus U an der stelle 0 eine nullstelle haben...)
jedes polynom p 4.gerades mit p(0)=0 kann ich als linearkombination dieses funktionen schreiben.
fehlt noch die lineare unabhängigkeit, dazu betrachten wir die gleichung
[mm] $ax+bx^2+cx^3+dx^4=0$
[/mm]
zu zeigen ist das a=b=c=d=0 gelten muss (die gleichung muss ja für alle [mm] x\in [/mm] [0,1] gelten)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 So 07.05.2006 | | Autor: | homme |
Vielen Dank für die Antwort.
Die Frage mit den Schwingungen habe ich jetzt noch verbessert.
Also wenn ich dich jetzt richtig verstehe, bedeutet, dass das ein Polynom 3. Grades die Dimension 3 hat, oder?
Und "ein Teil der Basis" kann dann z.B. folgender Maßen ausschauen
[mm] \vektor{1 \\ 0\\ 2\\ 1} [/mm]
Ich frage jetzt nach, weil ich das Gefühl habe, dass ich noch nicht so ganz durchgestiegen bin.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:05 Mo 08.05.2006 | | Autor: | choosy |
> Vielen Dank für die Antwort.
> Die Frage mit den Schwingungen habe ich jetzt noch
> verbessert.
> Also wenn ich dich jetzt richtig verstehe, bedeutet, dass
> das ein Polynom 3. Grades die Dimension 3 hat, oder?
ein einzelnes vektorraumelement hat keine dimension, nur der ganze Raum
> Und "ein Teil der Basis" kann dann z.B. folgender Maßen
> ausschauen
> [mm]\vektor{1 \\ 0\\ 2\\ 1}[/mm]
die Basis besteht aus den 4 Vektoren $x, [mm] x^2 x^3$ [/mm] und [mm] $x^4$
[/mm]
die Koordinaten [mm]\vektor{1 \\ 0\\ 2\\ 1}[/mm] beschreiben also bezüglich dieser Basis den Vektor [mm] $1*x+0*x^2+2*x^3+1*x^4$
[/mm]
wie üblich ist dann
[mm]\vektor{1 \\ 0\\ 0\\ 0}=x[/mm] der erste Basisvektor,
[mm]\vektor{0 \\ 1\\ 0\\ 0}=x^2[/mm] der zweite...
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