Unterraum, Teilmenge, Beweis < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:54 Di 31.01.2012 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ich soll beweisen dass [mm] (l_{\IR})^{2} \subset (l_{\IR})^{\infty}. [/mm] Habe zwar die Lösung vor mir, nur kann ich trotzdem nicht entziffern was [mm] (l_{\IR})^{2} [/mm] geschweige denn [mm] (l_{\IR})^{\infty} [/mm] sein soll...?
Danke sehr.
Grüsse
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:10 Di 31.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> Ich soll beweisen dass [mm](l_{\IR})^{2} \subset (l_{\IR})^{\infty}.[/mm]
> Habe zwar die Lösung vor mir, nur kann ich trotzdem nicht
> entziffern was [mm](l_{\IR})^{2}[/mm] geschweige denn
> [mm](l_{\IR})^{\infty}[/mm] sein soll...?
das sollte in Deinem Skript/Deiner Vorlesungsmitschrift stehen. Mehr als mutmaßen kann ich hier erstmal auch nicht - wieso schreibst Du die Lösung nicht mal hier rein?
Vermutlich, und davon gehe ich erstmal aus, ist
[mm] $$(\ell_{\IR})^2=\{f: \IN \to \IR: \sum_{n=1}^\infty |f(n)|^2 < \infty\}\,,$$
[/mm]
also die Menge aller reellwertigen Folgen, die in der 2-Norm beschränkt sind, und
[mm] $$(\ell_{\IR})^\infty=\{g: \IN \to \IR: \sup\{|g(n)|: n \in \IN\} < \infty\}\,,$$
[/mm]
also die Menge aller reellwertigen Folgen, die in der [mm] $\intfy$-Norm [/mm] beschränkt sind.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:19 Di 31.01.2012 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo Marcel,
Achso...war mir eben nicht sicher. Dann ist es trivial. Danke.
Dann schreib ich mal noch den Beweis rein um das wissen im Internet zu erweitern:
Sei f [mm] \in l^{2}_{\IR} [/mm] und man nehme an f [mm] \not\in l^{\infty}_{\IR}
[/mm]
das heisst es gibt eine positive Menge K [mm] \subseteq \IZ [/mm] für die gilt
||f[k]|| > M für alle k [mm] \in [/mm] K
So folgt [mm] \summe_{-\infty}^{\infty}|f[k]| \ge [/mm] |K|*M [mm] \ge [/mm] M
und damit f [mm] \not\in l^{2}_{\IR} [/mm] für M -> [mm] \infty.
[/mm]
Grüsse
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:43 Di 31.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> Achso...war mir eben nicht sicher. Dann ist es trivial.
> Danke.
> Dann schreib ich mal noch den Beweis rein um das wissen im
> Internet zu erweitern:
>
> Sei f [mm]\in l^{2}_{\IR}[/mm] und man nehme an f [mm]\not\in l^{\infty}_{\IR}[/mm]
>
> das heisst es gibt
fehlt da nicht: für jedes $M > 0$?
> eine positive Menge K [mm]\subseteq \IZ[/mm]
> für die gilt
> ||f[k]|| > M für alle k [mm]\in[/mm] K
>
> So folgt [mm]\summe_{-\infty}^{\infty}|f[k]| \ge[/mm] |K|*M [mm]\ge[/mm] M
> und damit f [mm]\not\in l^{2}_{\IR}[/mm] für M -> [mm]\infty.[/mm]
Das sieht aber ein bisschen nach "speziellen" summierbaren (reellwertigen) Familien aus (Indexmenge [mm] $I=\IZ$):
[/mm]
![[]](/images/popup.gif) http://www.math.ethz.ch/~salamon/PREPRINTS/ana1-sum.pdf
Aber das ganze geht ziemlich analog.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:05 Mi 01.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> Ich soll beweisen dass [mm](l_{\IR})^{2} \subset (l_{\IR})^{\infty}.[/mm]
> Habe zwar die Lösung vor mir, nur kann ich trotzdem nicht
> entziffern was [mm](l_{\IR})^{2}[/mm] geschweige denn
> [mm](l_{\IR})^{\infty}[/mm] sein soll...?
>
> Danke sehr.
>
> Grüsse
Marcel hat Dir ja gesagt, um welche Räume es sich oben handelt. Unten hast Du einen Widerspruchsbeweis für die Inklusion [mm](l_{\IR})^{2} \subset (l_{\IR})^{\infty}.[/mm] gemacht. Direkt gehts aber ganz einfach:
Sei [mm] (a_n) \in (l_{\IR})^{2}. [/mm] Dann ist die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{ \infty}|a_n|^2 [/mm] konvergent. Somit ist die Folge [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge und daher beschränkt. Folglich ist [mm] (a_n) \in (l_{\IR})^{\infty}.
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:02 Mi 01.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Hallo,
> >
> > Ich soll beweisen dass [mm](l_{\IR})^{2} \subset (l_{\IR})^{\infty}.[/mm]
> > Habe zwar die Lösung vor mir, nur kann ich trotzdem nicht
> > entziffern was [mm](l_{\IR})^{2}[/mm] geschweige denn
> > [mm](l_{\IR})^{\infty}[/mm] sein soll...?
> >
> > Danke sehr.
> >
> > Grüsse
>
> Marcel hat Dir ja gesagt, um welche Räume es sich oben
> handelt.
leider passt das nicht so 100%ig zu dem, was er in dem Beweis gepostet hat. Strenggenommen ist bei ihnen wohl
[mm] $$(\ell_{\IR})^2=\{f: \red{\IZ} \to \IR: \sum_{z \in \red{\IZ}}f(z)^2 < \infty\}\,.$$
[/mm]
Mit summierbaren Familien habe ich momentan nicht allzuviel am Hut, aber ich denke, dass man auch Deinen direkten Beweis da anpassen kann.
(Da gibt's ja sowas wie: Für jedes [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ gibt es eine Teilmenge [mm] $J_0$ [/mm] von [mm] $\IZ$ [/mm] so, dass für jede Obermenge $J [mm] \subseteq \IZ$ [/mm] von [mm] $J_0$ [/mm] folgt ... Damit bekommt man dann auch sowas, wie, dass, wenn man "über (alle bis auf endlich viele) Folgeglieder mit vom Betrage her hinreichend großen Indizes summiert, diese dann $< [mm] \epsilon$ [/mm] werden (das entspricht wohl so einer Art "Cauchyfolgeneigenschaft", die ja auch konvergente Reihen haben). Und damit muss sicher sowas wie [mm] $a_{z} \to [/mm] 0$ für $|z| [mm] \to \infty$ [/mm] gelten." Liege ich da richtig?)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:19 Do 02.02.2012 | | Autor: | qsxqsx |
Danke... was wär ich nur ohne euch?!
Gute Nacht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:32 Do 02.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > > Hallo,
> > >
> > > Ich soll beweisen dass [mm](l_{\IR})^{2} \subset (l_{\IR})^{\infty}.[/mm]
> > > Habe zwar die Lösung vor mir, nur kann ich trotzdem nicht
> > > entziffern was [mm](l_{\IR})^{2}[/mm] geschweige denn
> > > [mm](l_{\IR})^{\infty}[/mm] sein soll...?
> > >
> > > Danke sehr.
> > >
> > > Grüsse
> >
> > Marcel hat Dir ja gesagt, um welche Räume es sich oben
> > handelt.
>
> leider passt das nicht so 100%ig zu dem, was er in dem
> Beweis gepostet hat. Strenggenommen ist bei ihnen wohl
> [mm](\ell_{\IR})^2=\{f: \red{\IZ} \to \IR: \sum_{z \in \red{\IZ}}f(z)^2 < \infty\}\,.[/mm]
>
> Mit summierbaren Familien habe ich momentan nicht allzuviel
> am Hut, aber ich denke, dass man auch Deinen direkten
> Beweis da anpassen kann.
> (Da gibt's ja sowas wie: Für jedes [mm]\epsilon > 0[/mm] gibt es
> eine Teilmenge [mm]J_0[/mm] von [mm]\IZ[/mm] so, dass für jede Obermenge [mm]J \subseteq \IZ[/mm]
> von [mm]J_0[/mm] folgt ... Damit bekommt man dann auch sowas, wie,
> dass, wenn man "über (alle bis auf endlich viele)
> Folgeglieder mit vom Betrage her hinreichend großen
> Indizes summiert, diese dann [mm]< \epsilon[/mm] werden (das
> entspricht wohl so einer Art "Cauchyfolgeneigenschaft", die
> ja auch konvergente Reihen haben). Und damit muss sicher
> sowas wie [mm]a_{z} \to 0[/mm] für [mm]|z| \to \infty[/mm] gelten." Liege
> ich da richtig?)
Hallo Marcel,
Sei [mm] (a_k)_{k \in \IZ} [/mm] eine Folge reeller (oder komplexer) Zahlen. Für n [mm] \in \IN_0 [/mm] setze
[mm] $s_n:=\summe_{k=-n}^{n}a_k$
[/mm]
Dann heißt [mm] \summe_{k \in \IZ}^{}a_k [/mm] konvergent : [mm] \gdw (s_n)_{n \in \IN_0} [/mm] ist konvergent.
Wie bei "normalen" Reihen zeigt man:
[mm] \summe_{k \in \IZ}^{}a_k [/mm] konvergent [mm] \Rightarrow $a_k \to [/mm] 0$ für $|k| [mm] \to \infty$
[/mm]
Gruß FRED
>
> Gruß,
> Marcel
|
|
|
|
