Unterraum beweisen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Wir betrachten die folg. teilmengen des [mm] \IR-Vektorraumes \IR^{4}:
[/mm]
A= { (1,t, t²,-t) [mm] \in \IR^{4} [/mm] | t [mm] \in \IR [/mm] }, U= { [mm] (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \in \IR^{4} [/mm] | [mm] x_{2}= [/mm] - [mm] x_{4} [/mm] }
a) zeigen Sie, dass U ein 3-dimensionaler linearer Unteraum von [mm] \IR^{4} [/mm] ist.
b) zeigen Sie, dass sich in der menge A drei linear unabhängige Vektoren befinden und dass <A> = U gilt. |
also bei der a) hätte ich folgendes gemacht:
i) (0,0,0,0) = [mm] (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) [/mm] = [mm] (x_{1}, -x_{4}, x_{3}, x_{4})
[/mm]
=> [mm] x_{1}=0 [/mm] , [mm] x_{2}=0 [/mm] , [mm] x_{3}=0, x_{4}=0 [/mm] ; insb.: -0=0
ii)u,v [mm] \in [/mm] U => u+v [mm] \in [/mm] U ?
[mm] (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) [/mm] + [mm] (y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}) [/mm] = [mm] (x_{1}+y_{1}, x_{2}+ y_{2}, x_{3}+y_{3}, x_{4}+ y_{4}) [/mm] mit [mm] x_{2}= -x_{4} [/mm] ; [mm] y_{2}= -y_{4} [/mm] => [mm] -x_{4}-y_{4}= (-1)(x_{4}+y_{4})
[/mm]
=> u+v [mm] \in [/mm] U
iii) sei k [mm] \in \IR: [/mm] k [mm] (x_{1}, -x_{4}, x_{3}, x_{4}) [/mm] = [mm] (kx_{1},-kx_{4}, kx_{3},kx_{4} [/mm] ) da k aus [mm] \IR [/mm] => u'auch aus [mm] \IR^{4}
[/mm]
passt das so? und jetzt hab ich noch ein problem, zu zeigen, dass U dreidimensional ist. soll ich zeigen, dass 4 beliebige vektoren aus U linear abhängig sind?
bei der b) weiß ich auch nicht recht weiter. also um zu zeigen, dass ich drei linear unabh. vektoren hab in A setze ich doch einfach mal für t 1, -1, 0 ein. dann habe ich drei offensichtlich l.u. vektoren. aber wie zeige ich, dass <A>=U gilt?
|
|
| |
|
> Wir betrachten die folg. teilmengen des [mm]\IR-Vektorraumes \IR^{4}:[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> A= { (1,t, t²,-t) [mm]\in \IR^{4}[/mm] | t [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}, U= { [mm](x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \in \IR^{4}[/mm]
> | [mm]x_{2}=[/mm] - [mm]x_{4}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> a) zeigen Sie, dass U ein 3-dimensionaler linearer
> Unteraum von [mm]\IR^{4}[/mm] ist.
> b) zeigen Sie, dass sich in der menge A drei linear
> unabhängige Vektoren befinden und dass <A> = U gilt.
Hallo,
bei der Aufgabe a) meinst Du das schon richtig, aufschreiben würde man es etwas anders:
> also bei der a) hätte ich folgendes gemacht:
> i) (0,0,0,0) = [mm](x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})[/mm] = [mm](x_{1}, -x_{4}, x_{3}, x_{4})[/mm]
>
> => [mm]x_{1}=0[/mm] , [mm]x_{2}=0[/mm] , [mm]x_{3}=0, x_{4}=0[/mm] ; insb.: -0=0
Du brauchst hier bloß zu schreiben, daß offensichtlich der Nullvektor in U ist.
Willst Du,s unbedingt begründen, dann mit 0=-0.
> ii)u,v [mm]\in[/mm] U => u+v [mm]\in[/mm] U ?
Seien [mm] u:=(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}),v:=(y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}) \in [/mm] U.
Dann ist [mm] x_2=-x_4 [/mm] und [mm] y_2=-y_4
[/mm]
> [mm](x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})[/mm] + [mm](y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4})[/mm]
> = [mm](x_{1}+y_{1}, x_{2}+ y_{2}, x_{3}+y_{3}, x_{4}+ y_{4})[/mm]
Da nach Voraussetzung
> [mm]x_{2}= -x_{4}[/mm] ; [mm]y_{2}= -y_{4}[/mm] ,
ist [mm] x_{2}+ y_{2}=
[/mm]
> [mm]-x_{4}-y_{4}= (-1)(x_{4}+y_{4})[/mm]
>
> => u+v [mm]\in[/mm] U
> iii) sei k [mm]\in \IR
und u:=(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})\in U, dh. x_2=-x_4
>[/mm] k [mm](x_{1}, -x_{4}, x_{3}, x_{4})[/mm] =
> [mm](kx_{1},-kx_{4}, kx_{3},kx_{4}[/mm] ) da k aus [mm]\IR[/mm] => u'auch aus
> [mm]\IR^{4}[/mm]
Die Begründung ist falsch. Wir wollen nicht wissen, ob ku in [mm] \IR^4 [/mm] ist, sondern ob der vektor in U ist. Dazu müssen wir die 2. und 4. Komponente anschauen:
Es ist [mm] kx_2=k*(-x_4)=-kx_4
[/mm]
==> ku [mm] \in [/mm] U.
> passt das so? und jetzt hab ich noch ein problem, zu
> zeigen, dass U dreidimensional ist.
Du hast selbst herausgefunden, daß alle vektoren aus U die Gestalt
[mm] \vektor{x_1, -x_4, x_3, x_4} [/mm] haben.
Nun ist [mm] \vektor{x_1, -x_4, x_3, x_4} =x_1*\vektor{1\\0\\0\\0} [/mm] + [mm] x_4\vektor{\vdots} [/mm] + [mm] x_2\vektor{\vdots}.
[/mm]
Damit springt Dir ein Erzeugendensystem in die Augen.
Kannst Du auch noch davon überzeugen, daß die drei Vektoren linear unabhängig sind, so hast Du eine basis von U gefunden.
> soll ich zeigen, dass 4
> beliebige vektoren aus U linear abhängig sind?
Die Idee ist nicht so gut. Dann könnte die Dimension von U ja auch 1 oder 2 sein. Oder 0.
> bei der b) weiß ich auch nicht recht weiter. also um zu
> zeigen, dass ich drei linear unabh. vektoren hab in A setze
> ich doch einfach mal für t 1, -1, 0 ein. dann habe ich
> drei offensichtlich l.u. vektoren.
Ja.
Und weil Du drei linear unabhängige Vektoren hast, weißt Du, daß die Dimension von <A> mindestens =3 ist.
Bleibt nun die Frage, ob sie =3 ist, oder ob <A> den ganzen Raum umfaßt.
Überlege Dir, daß letzteres nicht der Fall ist. Du kannst hierzu versuchen, gründe zu finden dafür, daß z.B. [mm] \vektor{0\\0\\0\\1} [/mm] nicht drin liegt.
(Allgemein: keine Vektoren, bei denen die 2. Komponente nicht das Negative der vierten ist, sind drin.)
Also ist [mm] \vektor{1\\0\\0\\0}, \vektor{1\\1\\1\\-1}, \vektor{1\\-1\\1\\1} [/mm] eine Basis von <A>.
Jetzt könntest Du zeigen, daß die Basen von U und <A> denselben Raum aufspannen,
oder daß [mm] \subseteq [/mm] U und [mm] U\subseteq [/mm] <A>.
Gruß v. Angela
> aber wie zeige ich, dass
> <A>=U gilt?
|
|
|
|
