Unterraum und Kodimension < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] V=Abb(\IR,\IR) [/mm] (als [mm] \IR-VR [/mm] aufgefasst in der üblichen Weise), und sei U={f [mm] \in [/mm] V: f(0)+2f(1)=3f(0)-2f(2)=0}.
Man zeige, dass U ein Unterraum von V ist, bestimme [mm] codim_{V}(U) [/mm] und gebe einen Unterraum W von V mit [mm] U\oplusW=V [/mm] an. |
Hallo zusammen,
ich habe hier eine Aufgabe, die mir eigentlich nicht sehr schwer vorkommt. Bleibe aber leider trotzdem schon am Anfang hängen.
Ich weiß leider einfach nicht, wie ich hier zeigen kann, dass U ein Unterraum von V ist. Für einen Unterraum muss gelten
1) 0 [mm] \in [/mm] W
2) für alle u,v [mm] \in [/mm] W gilt u+v [mm] \in [/mm] W
3) für alle u [mm] \in [/mm] W und [mm] \lambda \in [/mm] K gilt [mm] \lambda*u \in [/mm] W
Diese Eigenschaften kann ich aber auf mein Bespiel nicht anwenden. Hoffe mir kann jemand helfen. 
Viele Grüße
kaykay_22
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 Do 13.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Eigenschaften deiner fkt sind doch
f(0)+2f(1)=3f(0)-2f(2)=0
1. erfüllt f(x)=0 diese Bedingung?
2. du hast eine fkt, f und g für die die Bed. gilt was gilt dann für h=f+g rechne nach h(0)+2h(1)=? usw.
ebenso rechne nach ob fürr h=r*f die Bed, gilt, wenn sie für f gilt.
die Rechnungen sind so einfach, dass du sie vielleicht zu einfach fandest?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Super, danke für deine schnelle Antwort!
Damit ich dich richtig verstanden habe: Ich nehme jetzt die Vektoren f und g aus dem Unterraum mit dessen Eigenschaften und kreiere dadurch ein neuen Vektor h, bei dem ich schaue ob die Axiome auch noch passen?!
Wie gehe ich dann bei der Kodimension vor?
Kodimension von U heißt ja die dim(U/V) oder anders: codim(U,V)=dimV-dimU kann ich diese Formel benutzen? [mm] dimV=dim\IR^2=2?! [/mm] Aber was ist dim(U)?
Mir ist aufgefallen, dass ich oben bei der Aufgabenstellung einen Fehler drin habe... Das Ende der Aufgabe soll heißen:
"und gebe einen Untervektorraum W von V mit U [mm] \oplus [/mm] W = V an."
Vielen Dank und Grüße
|
|
|
| |
|
Mir ist gerade noch aufgefallen, wieso es mir nicht so leicht fällt. Wie sieht denn so ein f [mm] \in [/mm] V aus? Ist das ein Polynom oder was für eine Form hat das? Weil nur mit den f(0), f(2), etc. kann ich doch nicht rechnen oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Do 13.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein, das sind sehr allgemeine Funktionen:
zeichne in ein koordinatensystem bei x=0 irgendeinen Punkt f(0) z.B f(0)=2 oder -1
dann bei x=1 einen Punkt der -1/2*f(0) ist also -1 oder +0.5
dann bei x2 einen Punkt der 3/2 *f(0) ist also im Bsp -3 oder 1.5
jetzt hast du 3 Punkte gezeichnet, und kannnst jede noch so wilde Funktion dadurch zeichnen, wenn sie nur stetig ist, d,h, unendlich viele verschiedene, dann kannst du f(0) amders wählen und wieder unendlich viele zeichnen.( ich sehe gerade sie müssen nicht mal stetig sein?)
Du hast also nur 2 Bedingungen an die Fkt!
wenn du sie gezeichnet hast (oder eine kleine Auswahl) addier sie mal oder mult sie mit einer Zahl und überzeug dich dass sie noch dieselben Eigenschaften haben, zwar mit veränderten f(0) aber immer noch f(0)+2f(1)=0 und 3f(0)-2f(2)=0
zur Rechnung benutzt du nur die 2 eigenschaften der fkt und zeigst dass sie erhalten bleiben ! Dafür muss man sie sich gar nicht vorstellen.
Gruss leduart
|
|
|
|
