Unterraum von C^3 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] V$\subset $$\IC^3$ [/mm] die Menge aller [mm] ($z_{1}$,$z_{2}$,$z_{3}$) [/mm] mit
(a) [mm] $z_{1}$ [/mm] reell,
(b) [mm] $z_{2}=0$,
[/mm]
(c) [mm] $z_{1}$ [/mm] oder [mm] $z_{2}=0$,
[/mm]
(d) [mm] $z_{1}+z_{2}=0$.
[/mm]
(e) [mm] $z_{1}+z_{2}=1$.
[/mm]
Welcher der V ist ein Unterraum von [mm] $\IC^3$ [/mm] ?
Welcher der V ist ein Unterraum des reelen Vektorraumes [mm] $\IC^3$ [/mm] ? |
hallo erstmal...
hab die aufgabe gestellt bekommen,
mir is bewusst:
W heißt untervektorraum von v, wenn gilt
(1) W nicht leer
(2) v,wW --> v+wW
(3) vW, $ [mm] \lambda$ [/mm] K --> $ [mm] \lambda$vW
[/mm]
allerdings ist mir nicht klar wie ich das auf diese 3-tupel (ich hoffe das sind auch 3-tupel) anwenden soll, da ich zwar andere beispiele gefunden habe, diese aber nicht auf die aufgabenstellung umsetzen konnte.
wäre nett wenn mir das einer erklären könnte...danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 Mi 10.05.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
hier erst mal ein paar Hinweise zu (a), die anderen Teile laufen dann ja mehr oder weniger ähnlich.
Du hast also eine Menge W gegeben als:
[mm][mm] W={(z_1,z_2,z_3)\in \IC^3 : z_1 \in \IR}
[/mm]
und sollst prüfen, ob die ein linearer Teilraum von [mm] \IC^3 [/mm] ist.
Die Definition hast Du ja bereits hingeschrieben, d.h. Du musst jetzt diese drei Punkte überprüfen.
(1) W ist nicht leer:
das sollte ziemlich klar sein, zur Not schreibst Du einen Vektor mit reeller erster Koordinate hin.
(2) W ist abgeschlossen bezüglich +:
Nimm einfach mal zwei allgemeine Vektoren aus W, z.B. [mm] (x_1,x_2,x_3) [/mm] und [mm] (y_1,y_2,y_3). [/mm] Da sie in W liegen ist [mm]x_1 \in \IR[/mm] und [mm]y_1 \in \IR[/mm]. Wie sieht dann die Summe aus? Muss auch da in jedem Fall die erste Komponente (also [mm] x_1+y_1) [/mm] reell sein?
(3) W ist abgeschlossen bezüglich skalarer Multiplikation:
Nimm wieder einen beliebigen Vektor aus W, z.B. [mm] (x_1,x_2,x_3) [/mm] wieder mit [mm] x_1 \in \IR [/mm] und multipliziere mit beliebigem [mm] \lambda \in \IC. [/mm] Auch hier betrachte wieder die erste Komponente [mm] \lambda x_1. [/mm] Muss die für jedes [mm] \lambda [/mm] wieder reell sein?
Ich hoffe mal, damit solltest Du (a) leicht hinkriegen und die anderen Aufgaben laufen nach einem ähnlichen Muster.
Vielleicht noch ein paar allgemeine Hinweise:
- Wenn Du merkst, dass eine der Bedingungen nicht erfüllt ist reicht es, wenn Du zu dieser ein einziges Gegenbeispiel angibst, dann ist die Aufgabe schon gelöst (mit dem Ergebnis "kein lin. Teilraum").
- Wenn die gegebene Menge ein lin. Teilraum ist bleibt es Dir leider nicht erspart, die beiden letzten Bedingungen mit ganz allgemeinen Vektoren zu zeigen :(
Gruß
piet
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