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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:25 Di 20.11.2007 | | Autor: | Kyrill |
| Aufgabe | Sei p [mm] \in \IN [/mm] prim. Die Menge
[mm] \IZ_{p}:= [/mm] { [mm] \bruch{a}{b}|a,b \in \IN [/mm] und p teilt nicht b }
bildet einen Unterring von [mm] \IQ
[/mm]
1.Bestimmen Sie alle Ideale von [mm] \IZ_{p} [/mm] und zeigen Sie, dass [mm] \IZ_{p} [/mm] ein Hauptidealring ist.
2. Bestimmen Sie ( bis auf Assoziiertheit ) alle Primelemente. |
Hallo alle miteinander!
Also ich denke ich habe die Aufgabe gelöst. Da ich aber nicht weiß, ob das so alle seine Richtigkeit hat stelle ich das mal rein und hoffe, dass keiner einen Fehler findet ;)
Zu 1:
[mm] \IZ_{p}:= [/mm] { [mm] \bruch{a}{b}|a,b \in \IN [/mm] und p teilt nicht b }
Nehme an, dass [mm] \bruch{a}{b} [/mm] vollständig gekürzt ist
[mm] \Rightarrow \IZ_{p}:= [/mm] { [mm] \bruch{a}{b}|a,b \in \IN, v_{p}(a)\ge [/mm] 0 }, wobei [mm] v_{p}(a) [/mm] die Anzahl der p in der Primfaktorzerlegung von a ist.
Bestimmung der Ideale von [mm] \IZ_{p}:
[/mm]
- trivialerweise sind {0} und [mm] \IZ_{p} [/mm] Ideale
- [mm] A_{p}:= [/mm] { [mm] \bruch{a}{b}|a,b \in \IZ, v_{p}(a)=r [/mm] }, [mm] r\in \IN [/mm] fest, ist kein Ideal, da z.B. [mm] \bruch{4}{3}\in \IZ_{2}, \bruch{3*2^r}{5}\in A_{2}, [/mm] aber [mm] \bruch{4}{3}*\bruch{3*2^r}{5}\not\in A_{2}
[/mm]
- [mm] B_{p}:= [/mm] { [mm] \bruch{a}{b}|a,b \in \IZ, v_{p}(a)>r [/mm] }, r [mm] \in \IN [/mm] fest ist Ideal, da
(i) [mm] 0=\bruch{0}{1}\in B_{p}
[/mm]
(ii) Sei [mm] \bruch{a}{b}, \bruch{c}{d} \in B_{p}
[/mm]
[mm] \Rightarrow v_{p}(\bruch{a}{b}+\bruch{c}{d}) [/mm] = [mm] v_{p}(\bruch{a}{b})*v_{p}(\bruch{c}{d}) [/mm] = [mm] (v_{p}(a)-v_{p}(b))*(v_{p}(c)-v_{p}(d))>r^2>r, [/mm] da [mm] v_{p}(b) [/mm] und [mm] v_{p}(d)=0
[/mm]
(iii) Sei [mm] \bruch{a}{b}\inB_{p}
[/mm]
[mm] \Rightarrow v_{p}(\bruch{-a}{b}) [/mm] = [mm] v_{p}(-a)-v_{p}(b) [/mm] = [mm] v_{p}(-a)=v_{p}(a)>r
[/mm]
(iv)Sei [mm] \bruch{a}{b}, \bruch{c}{d} \in B_{p}
[/mm]
[mm] \Rightarrow v_{p\(\bruch{a}{b}*\bruch{c}{d}} [/mm] = [mm] v_{p}(\bruch{a}{b}) [/mm] + [mm] v_{p}(\bruch{c}{d}) [/mm] = [mm] v_{p}(a) [/mm] - [mm] v_{p}(b) [/mm] + [mm] v_{p}(c) [/mm] - [mm] v_{p}(d) [/mm] = [mm] v_{p}(a) [/mm] + [mm] v_{p}(c) [/mm] > r+r > r
[mm] \Rightarrow [/mm] Ideale sind [mm] \IZ_{p}, [/mm] {0} und [mm] B_{p}
[/mm]
Jetzt noch zu zeigen, dass [mm] \IZ_{p} [/mm] ein Hauptidealring ist:
Für [mm] \bruch{a}{b}=\bruch{c}{d} [/mm] bzw. ac = bd gilt:
[mm] v_{p}(\bruch{a}{b}) [/mm] = [mm] v_{p}(\bruch{c}{d})
[/mm]
[mm] \gdw v_{p}(a)-v_{p}(b) [/mm] = [mm] v_{p}(c)-v_{p}(d)
[/mm]
[mm] \gdw v_{p}(a)+v_{p}(c) [/mm] = [mm] v_{p}(d)+v_{p}(b)
[/mm]
[mm] \gdw v_{p}(ac) [/mm] = [mm] v_{p}(bd)
[/mm]
damit existiert eine normalabbildung
[mm] v_{p}: \IZ_{p} \rightarrow \IN
[/mm]
[mm] \bruch{a}{b} \rightarrow v_{p}(a)-v_{p}(b)
[/mm]
Behauptung: [mm] \forall \bruch{a}{b}, \bruch{c}{d} \in \IZ_{p}, [/mm] g [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \exists [/mm] q,r [mm] \in \IZ_{p} [/mm] mit [mm] \bruch{a}{b} [/mm] = [mm] q*\bruch{c}{d}+r, [/mm] wobei [mm] v_{p}(r)
Beweis: 1. Fall
[mm] v_{p}(\bruch{a}{b})\ge v_{p}(\bruch{c}{d})
[/mm]
[mm] \gdw v_{p}(a)-v_{p}(b) \ge v_{p}(c)-v_{p}(d)
[/mm]
[mm] \gdw v_{p}(ad) \ge v_{p}(cb)
[/mm]
[mm] \gdw v_{p}(\bruch{ad}{bc}) \ge [/mm] 0
[mm] \Rightarrow \bruch{a}{b} [/mm] = [mm] v_{p}(\bruch{ad}{bc})*v_{p}(\bruch{c}{d}) [/mm] + o
Also kommt p in der PFZ von ad genauso oft vor wie in der von bc, vor dem kürzen
[mm] \Rightarrow \bruch{ad}{cb} \in \IZ_{p}
[/mm]
2. Fall: [mm] v_{p}(\bruch{a}{b}) [/mm] < [mm] v_{p}(\bruch{c}{d})
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{a}{b} [/mm] = [mm] 0*\bruch{c}{d} [/mm] + [mm] \bruch{a}{b}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \IZ_{p} [/mm] euklidischer Ring [mm] \Rightarrow \IZ_{p} [/mm] Hauptidealring
Jetzt zum 2. der Aufgabe:
Da [mm] \IZ_{p} [/mm] Hauptidealring ist [mm] \IZ_{p} [/mm] auch faktoriell
Es gilt: Element prim [mm] \gdw [/mm] Element irrduzibel
Suche also Elemente, die keine Zerlegung in Nichteinheiten haben:
1. Fall:
[mm] v_{p}(\bruch{a}{b})>1
[/mm]
[mm] \bruch{a}{b} [/mm] = [mm] \bruch{p}{1}*\bruch{a}{bp}
[/mm]
[mm] \bruch{p}{1} \in \IZ_{p} [/mm] ist Nichteinheit, da [mm] \bruch{1}{p}\not\in \IZ_{p}, [/mm] da [mm] v_{p}(\bruch{1}{p}) [/mm] = -1
[mm] \bruch{a}{pb} [/mm] = [mm] v_{p}(p) [/mm] + [mm] v_{p}(b)-v_{p}(a) [/mm] = [mm] 1-(v_{p}(a)-v_{p}(b)), [/mm] da [mm] (v_{p}(a)-v_{p}(b))>1 [/mm] folgt [mm] \bruch{a}{pb}\le [/mm] -1
[mm] \Rightarrow [/mm] hat Zerlegung in Nichteinheiten
[mm] \Rightarrow [/mm] kein Primelement
2. Fall [mm] v_{p}(\bruch{a}{b}) [/mm] = 1
Sei [mm] \bruch{a}{b} [/mm] = [mm] \bruch{u}{v}*\bruch{x}{y}
[/mm]
Da 1 = [mm] v_{p}(\bruch{a}{b}) [/mm] = [mm] v_{p}(\bruch{u}{v}*\bruch{x}{y}) [/mm] = [mm] v_{p}(\bruch{u}{v})*v_{p}(\bruch{x}{y})
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] da [mm] v_{p}>0 v_{p}(\bruch{u}{v})=0 [/mm] oder [mm] v_{p}(\bruch{x}{y})=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{u}{v} [/mm] Einheit oder [mm] \bruch{x}{y} [/mm] ist Einheit
[mm] \Rightarrow [/mm] hat keine Zerlegung in Nichteinheiten
[mm] \Rightarrow [/mm] Primelement
3. Fall: [mm] v_{p}(\bruch{a}{b}) [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow \bruch{a}{b} [/mm] ist Einheit [mm] \Rightarrow \bruch{a}{b} [/mm] ist nicht prim
[mm] \Rightarrow [/mm] Menge der Primelemente = { [mm] \bruch{a}{b}| [/mm] a,b [mm] \in \IZ, v_{p}(a) [/mm] = [mm] v_{p}(b)+1}
[/mm]
So das war jetzt echt mal viel. Ich hoffe ich habe nichts vergessen.
Schonmal vielen Danke im Voraus!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:28 Do 22.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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