Unterringe von R^{n,n} < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei (R;+;*)ein kommutativer Ring mit Eins-Element, und [mm] A^{n,n},B^{n,n}
[/mm]
[mm] \subseteq R^{n,n} [/mm] durch
[mm] A^{n,n} [/mm] = [mm] {(a_{i,j})\in R^{n,n} |a_{i,n}=0, i=1...n},
[/mm]
[mm] B^{n,n} [/mm] = [mm] {(a_{i,j})\in R^{n,n} |a_{n,j}=0, j=1...n},
[/mm]
gegeben. Zeigen Sie, dass [mm] A^{n,n} [/mm] und [mm] B^{n,n} [/mm] Unterringe von [mm] R^{n,n} [/mm] bilden(bezüglich gewöhnlicher Addition und Multiplikation von Matrizen). |
Hallo,
mein Ansatz für diese Aufgabe wäre:
zu zeigen ist, dass für [mm] A^{n,n} [/mm] gilt: a,b [mm] \in [/mm] A, dann is auch a+b [mm] \in [/mm] A und
das inverse ist ebenfalls in A.
und a,b [mm] \in [/mm] A, dann ist auch a*b in A.(gleiches soll auch für [mm] B^{n,n} [/mm] gelten.).
Leider bin ich mir bei meiner Argumentation nicht sicher und ich hoffe ihr könnt mir sagen was ich richtig bzw falsch gemacht habe:
Da R nach Vorraussetzung ein Ring ist und es gilt:
[mm] A^{n,n} \subseteq R^{n,n}.
[/mm]
Da in einem Ring die Addition eine ablesche Gruppe sein muss, gilt dies doch dann auch für Teilmengen von [mm] R^{n,n}, [/mm] also [mm] A^{n,n}.
[/mm]
Die restlichen Eigenschaften würde ich ungefähr analog beanworten.
Ich weiß leider nicht, wie man an diese Aufgabe anders rangehen sollte.
Hoffe mir kann jemand helfen.
MFG
Nathenatiker
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> Sei (R;+;*)ein kommutativer Ring mit Eins-Element, und
> [mm]A^{n,n},B^{n,n}[/mm]
> [mm]\subseteq R^{n,n}[/mm] durch
> [mm]A^{n,n}[/mm] = [mm]{(a_{i,j})\in R^{n,n} |a_{i,n}=0, i=1...n},[/mm]
>
> [mm]B^{n,n}[/mm] = [mm]{(a_{i,j})\in R^{n,n} |a_{n,j}=0, j=1...n},[/mm]
>
> gegeben. Zeigen Sie, dass [mm]A^{n,n}[/mm] und [mm]B^{n,n}[/mm] Unterringe
> von [mm]R^{n,n}[/mm] bilden(bezüglich gewöhnlicher Addition und
> Multiplikation von Matrizen).
Hallo,
zunächst einmal würde ich mir klarmachen, wie die Elemente von [mm] A^{n,n} [/mm] aussehen. Das sind ja die Matrizen, die in der letzten Spalte nur Nullen haben.
Du hast richtig erkannt, daß sich vieles bereits aus der Ringeigenschaft der nxn-Matrizen ergibt. Aber nicht alles!
Ausdrücklich nachzuweisen ist die Abgeschlossenheit bzgl. der beiden Operationen, daß sowohl Summe als auch Produkt zweier solcher Matrizen wieder in [mm] A^{n,n} [/mm] liegen. Außerdem, daß das Inverse bzgl. der Addition in [mm] A^{n,n} [/mm] liegt.
Gruß v. Angela
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Hallo,
ich will jetzt die Abgeschlossenheit von [mm] A^{n,n} [/mm] bezüglich der Addition zeigen. Wie macht man das am besten?
Ich würde es so begründen:
Wenn ich zwei solche Matrizen habe:
$ [mm] A^{n,n} [/mm] $ = $ [mm] {(a_{i,j})\in R^{n,n} |a_{i,n}=0, i=1...n}, [/mm] $
dann gilt für die Summe [mm] a_{i,n}=0, [/mm] i=1...n immernoch, da 0+0=0
und wenn zwei reelle Zahlen addiert werden kommt wieder eine reele Zahl raus.
reicht sowas als beweis für die Abgeschlossenheit aus?
Danke schon mal für die Hilfe.
MFG
Nathenatiker
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> ich will jetzt die Abgeschlossenheit von [mm]A^{n,n}[/mm] bezüglich
> der Addition zeigen. Wie macht man das am besten?
> Ich würde es so begründen:
> Wenn ich zwei solche Matrizen habe:
> [mm]A^{n,n}[/mm] = [mm]{(a_{i,j})\in R^{n,n} |a_{i,n}=0, i=1...n},[/mm]
>
> dann gilt für die Summe [mm]a_{i,n}=0,[/mm] i=1...n immernoch, da
> 0+0=0
> und wenn zwei reelle Zahlen addiert werden kommt wieder
> eine reele Zahl raus.
> reicht sowas als beweis für die Abgeschlossenheit aus?
Hallo,
Deine Begründung erweckt den Eindruck, daß Du verstanden hast, wieso die Summe zweier Matrizen auch wieder in [mm] A^{n,n} [/mm] liegt.
Du mußt es jetzt nur noch richtig aufschreiben.
Nimm Dir dazu zwei Matrizen aus [mm] A^{n,n}. [/mm] Addiere sie und betrachte die Summe. Interessant ist ja die letzte Spalte.
So kannst Du das machen:
Seien A,B [mm] \in A^{n,n}, A:=(a_{ij}), B:=(b_{ij}) [/mm] mit [mm] a_{in}, b_{in}=0.
[/mm]
Betrachte nun die Matrix [mm] C=(c_{ij}):=A+B=(a_{ij}+b_{ij}).
[/mm]
Es ist für alle [mm] i\in \{1,2,...,n\} c_{in}=a_{in}+b_{in}=0+0=0,
[/mm]
also ist C [mm] \in A^{n,n}, [/mm] und somit ist [mm] A^{n,n} [/mm] abgeschlossen bzgl. der Addition.
So ähnlich mußt Du es für die Multiplikation auch machern.
Fürs Inverse kannst Du ja direkt die zu [mm] (a_{ij}) [/mm] inverse Matrix angeben, die Begründung dafür, daß sie in [mm] A^{n,n} [/mm] liegt, ist keine Zauberei.
Gruß v. Angela
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