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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Unterringe von R^{n,n}
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Unterringe von R^{n,n}: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:42 Mo 13.11.2006
Autor: nathenatiker

Aufgabe
Sei (R;+;*)ein kommutativer Ring mit Eins-Element, und [mm] A^{n,n},B^{n,n} [/mm]
[mm] \subseteq R^{n,n} [/mm] durch
[mm] A^{n,n} [/mm] = [mm] {(a_{i,j})\in R^{n,n} |a_{i,n}=0, i=1...n}, [/mm]
[mm] B^{n,n} [/mm] = [mm] {(a_{i,j})\in R^{n,n} |a_{n,j}=0, j=1...n}, [/mm]
gegeben. Zeigen Sie, dass [mm] A^{n,n} [/mm] und [mm] B^{n,n} [/mm] Unterringe von [mm] R^{n,n} [/mm] bilden(bezüglich gewöhnlicher Addition und Multiplikation von Matrizen).

Hallo,

mein Ansatz für diese Aufgabe wäre:
zu zeigen ist, dass für [mm] A^{n,n} [/mm] gilt: a,b [mm] \in [/mm] A, dann is auch a+b [mm] \in [/mm] A und
das inverse ist ebenfalls in A.
und a,b  [mm] \in [/mm] A, dann ist auch a*b in A.(gleiches soll auch für [mm] B^{n,n} [/mm] gelten.).

Leider bin ich mir bei meiner Argumentation nicht sicher und ich hoffe ihr könnt mir sagen was ich richtig bzw falsch gemacht habe:

Da R nach Vorraussetzung ein Ring ist und es gilt:
[mm] A^{n,n} \subseteq R^{n,n}. [/mm]

Da in einem Ring die Addition eine ablesche Gruppe sein muss, gilt dies doch dann auch für Teilmengen von [mm] R^{n,n}, [/mm] also [mm] A^{n,n}. [/mm]
Die restlichen Eigenschaften würde ich ungefähr analog beanworten.

Ich weiß leider nicht, wie man an diese Aufgabe anders rangehen sollte.

Hoffe mir kann jemand helfen.

MFG

Nathenatiker


        
Bezug
Unterringe von R^{n,n}: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:54 Mo 13.11.2006
Autor: angela.h.b.


> Sei (R;+;*)ein kommutativer Ring mit Eins-Element, und
> [mm]A^{n,n},B^{n,n}[/mm]
>  [mm]\subseteq R^{n,n}[/mm] durch
>  [mm]A^{n,n}[/mm] = [mm]{(a_{i,j})\in R^{n,n} |a_{i,n}=0, i=1...n},[/mm]
>  
> [mm]B^{n,n}[/mm] = [mm]{(a_{i,j})\in R^{n,n} |a_{n,j}=0, j=1...n},[/mm]
>  
> gegeben. Zeigen Sie, dass [mm]A^{n,n}[/mm] und [mm]B^{n,n}[/mm] Unterringe
> von [mm]R^{n,n}[/mm] bilden(bezüglich gewöhnlicher Addition und
> Multiplikation von Matrizen).

Hallo,

zunächst einmal würde ich mir klarmachen, wie die Elemente von [mm] A^{n,n} [/mm] aussehen. Das sind ja die Matrizen, die in der letzten Spalte nur Nullen haben.

Du hast richtig erkannt, daß sich vieles bereits aus der Ringeigenschaft der nxn-Matrizen ergibt. Aber nicht alles!

Ausdrücklich nachzuweisen ist die Abgeschlossenheit bzgl. der beiden Operationen, daß sowohl Summe als auch Produkt zweier solcher Matrizen wieder in [mm] A^{n,n} [/mm] liegen. Außerdem, daß das Inverse bzgl. der Addition in [mm] A^{n,n} [/mm] liegt.

Gruß v. Angela

Bezug
                
Bezug
Unterringe von R^{n,n}: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:04 Mo 13.11.2006
Autor: nathenatiker

Hallo,

ich will jetzt die Abgeschlossenheit von [mm] A^{n,n} [/mm] bezüglich der Addition zeigen. Wie macht man das am besten?
Ich würde es so begründen:
Wenn ich zwei solche Matrizen habe:
$ [mm] A^{n,n} [/mm] $ = $ [mm] {(a_{i,j})\in R^{n,n} |a_{i,n}=0, i=1...n}, [/mm] $
dann gilt für die Summe [mm] a_{i,n}=0, [/mm] i=1...n immernoch, da 0+0=0
und wenn zwei reelle Zahlen addiert werden kommt wieder eine reele Zahl raus.
reicht sowas als beweis für die Abgeschlossenheit aus?

Danke schon mal für die Hilfe.

MFG

Nathenatiker


Bezug
                        
Bezug
Unterringe von R^{n,n}: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:14 Di 14.11.2006
Autor: angela.h.b.


> ich will jetzt die Abgeschlossenheit von [mm]A^{n,n}[/mm] bezüglich
> der Addition zeigen. Wie macht man das am besten?
>  Ich würde es so begründen:
>  Wenn ich zwei solche Matrizen habe:
>  [mm]A^{n,n}[/mm] = [mm]{(a_{i,j})\in R^{n,n} |a_{i,n}=0, i=1...n},[/mm]
>  
> dann gilt für die Summe [mm]a_{i,n}=0,[/mm] i=1...n immernoch, da
> 0+0=0
>  und wenn zwei reelle Zahlen addiert werden kommt wieder
> eine reele Zahl raus.
>  reicht sowas als beweis für die Abgeschlossenheit aus?

Hallo,

Deine Begründung erweckt den Eindruck, daß Du verstanden hast, wieso die Summe zweier Matrizen auch wieder in [mm] A^{n,n} [/mm] liegt.

Du mußt es jetzt nur noch richtig aufschreiben.
Nimm Dir dazu zwei Matrizen aus [mm] A^{n,n}. [/mm] Addiere sie und betrachte die Summe. Interessant ist ja die letzte Spalte.

So kannst Du das machen:
Seien A,B [mm] \in A^{n,n}, A:=(a_{ij}), B:=(b_{ij}) [/mm] mit [mm] a_{in}, b_{in}=0. [/mm]

Betrachte nun die Matrix [mm] C=(c_{ij}):=A+B=(a_{ij}+b_{ij}). [/mm]

Es ist für alle [mm] i\in \{1,2,...,n\} c_{in}=a_{in}+b_{in}=0+0=0, [/mm]
also ist C [mm] \in A^{n,n}, [/mm] und somit ist [mm] A^{n,n} [/mm] abgeschlossen bzgl. der Addition.

So ähnlich mußt Du es für die Multiplikation auch machern.
Fürs Inverse kannst Du ja direkt die zu [mm] (a_{ij}) [/mm] inverse Matrix angeben, die Begründung dafür, daß sie in [mm] A^{n,n} [/mm] liegt, ist keine Zauberei.

Gruß v. Angela


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