Unterschied Rand und Sphäre < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:43 Di 06.05.2008 | | Autor: | brini87 |
| Aufgabe | 1. Es sei (X,d) ein metrischer Raum. Zeigen Sie, dass für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0 und für alle x aus X gilt, dass der Rand der offenen Kugel um x immer in der entsprechenden Sphäre enthalten ist. Zeigen Sie am Beispiel X := [mm] \{0,1\} [/mm] , betrachtet als metrischer Teilraum von [mm] \IR [/mm] mit d(x,y) = |x-y|, dass man Gleichheit von Rand und Sphäre nicht immer erwarten kann.
2. Zeigen Sie, dass für [mm] X=\IR^n, [/mm] mit dem euklidischen Abstand d(x,y):= |x-y| als Metrik, gilt, dass der Rand gleich der Sphöre ist für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0 und x aus [mm] \IR^n. [/mm] |
Mein Problem ist, dass ich bis jetzt immer dachte, dass der Rand einer Kugel genau dasselbe ist wie die Sphäre einer Kugel?! Und jetzt soll ich auf einmal beweisen, dass es zwar meistens so ist, aber nicht immer...
Was ist also genau der Unterschied zwischen dem Rand und der Sphäre? Und wie kann ich den Beweis angehen?
Schon mal danke für alle Antworten!
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Hi,
> 1. Es sei (X,d) ein metrischer Raum. Zeigen Sie, dass für
> alle [mm]\varepsilon[/mm] > 0 und für alle x aus X gilt, dass der
> Rand der offenen Kugel um x immer in der entsprechenden
> Sphäre enthalten ist. Zeigen Sie am Beispiel X := [mm]\{0,1\}[/mm] ,
> betrachtet als metrischer Teilraum von [mm]\IR[/mm] mit d(x,y) =
> |x-y|, dass man Gleichheit von Rand und Sphäre nicht immer
> erwarten kann.
> 2. Zeigen Sie, dass für [mm]X=\IR^n,[/mm] mit dem euklidischen
> Abstand d(x,y):= |x-y| als Metrik, gilt, dass der Rand
> gleich der Sphöre ist für alle [mm]\varepsilon[/mm] > 0 und x aus
> [mm]\IR^n.[/mm]
> Mein Problem ist, dass ich bis jetzt immer dachte, dass
> der Rand einer Kugel genau dasselbe ist wie die Sphäre
> einer Kugel?! Und jetzt soll ich auf einmal beweisen, dass
> es zwar meistens so ist, aber nicht immer...
> Was ist also genau der Unterschied zwischen dem Rand und
> der Sphäre? Und wie kann ich den Beweis angehen?
naja, diese aufgabe ist ja genau dazu da, dass du SELBST dir gedanken über den unterschied zwischen rand der kugel und sphäre machst!  und aufgabe 2) unterstreicht ja auch schließlich, dass in der anschauung (nämlich dem euklidischen raum) diese beiden mengen zusammenfallen.
nimm dir die formalen definitionen der mengen:
[mm] $B_r(x)=\{y\in X:d(x,y)
ist die offene kugel um x mit radius r. entsprechend ist die sphäre def. als
[mm] $S_r(x)=\{y\in X:d(x,y)=r\}$
[/mm]
jetzt noch die def. des randes einer menge: das sind nämlich diejenigen punkte, für die jede umgebung sowohl punkte der menge als auch der komplement-menge enthalten.
Nimm dir nun das gegenbeispiel (den diskreten raum), x=0, und r=1, dann sollte es nicht mehr so schwer sein (entscheidend ist die frage wie der rand von [mm] B_1(0) [/mm] aussieht!).
gruss
matthias
> Schon mal danke für alle Antworten!
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 06:12 Mi 07.05.2008 | | Autor: | brini87 |
Danke für deine Antwort.
Die Defintionen von Rand und Sphäre sind mir klar.
Bist du dir sicher, dass X = [mm] \{0,1\} [/mm] der Kreis um 0 mit Radius 1 sein soll?
Leider hilft mir das nicht weiter. Ich denke nämlich, dass sowohl Rand als auch Sphäre genau der Kreis um 0 sind mit Radius 1 (also ohne das Innere). Aber das stimmt ja anscheinend nicht?!
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 06:26 Mi 07.05.2008 | | Autor: | brini87 |
Mir ist gerade etwas eingefallen.
Kann es sein dass dieser Kreis um o mit Radius 1 so aussieht, dass nur der Mittelpunkt 0 und alle Punkte mit Abstand 1 zum Mittelpunkt existieren? Dass also das Innere leer ist?
Dann müsste nämlich der Rand {0} sein, also der Mittelpunkt und die Sphäre wäre dann der Kreis, der um den Mittelpunkt mit Radius 1 liegt.
Stimmt meine Idee?? Und wenn ja, wie kann ich beweisen, dass das Innere leer ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:53 Mi 07.05.2008 | | Autor: | MacMath |
Ich lese nirgendwo heraus dass der Kreis die Menge {0,1} sein soll, das wäre auch falsch. Kreise sind nicht "leer" in der Mitte, was aus der Definition mit dem "<" folgt. Du musst versuchen einen "hinreichend hässlichen" Raum zu finden in dem die beiden Definitionen nicht mehr übereinstimmen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:40 Mi 07.05.2008 | | Autor: | brini87 |
Danke für den Tipp mit der Kugel um 0 mit Radius 1. Heute hat sich herausgestellt, dass das tatsächlich stimmt, und dass diese Kugel weil sie offen ist nur aus dem Mittelpunkt besteht. Der Rand ist also leer und die Sphäre ist der Kreis um den Mittelpunkt.
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