Unterschied bzgl. Funktionen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
mir ist noch nicht der Unterschied zischen einer
Treppenfunktion und ein Elementarfunktion klar.
Zwar können beide nur endlich viele Werte annehmen,
aber die Treppenfunktionen können nur ein einer endlich vielen anzahl von Intervallen definiert werden.
Das heißt doch das ich für die
[mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x\in \IQ \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } x\in\IR\setminus\IQ \mbox{ } \end{cases} [/mm]
nicht als Treppenfunktion darstellen kann.
Hat jemand eventuell noch ein paar Beispiele oder eventuell noch ein erzänzugen. Mir ist das noch nicht so ganz klar.
Danke freshstyle
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:06 Di 18.03.2008 | | Autor: | Framl |
Hi,
also eine Treppenfunktion ist wie folgt definiert:
Die Funktion [mm] $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ [/mm] heisst Treppenfunktion, wenn eine Unterteilung [mm] $a=x_0<....
Da man $n$ Unterteilungen hat, nimmt eine Treppenfunktion nur endlich viele Funktionswerte an und ist somit eine Elementarfunktion.
Die Umkehrung, dass eine Elementarfunktion auch eine Treppenfunktion ist, ist i.A. falsch - ein Beispiel hast du ja schon angegeben.
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OK,
d.h
Treppenfunktion [mm] \Rightarrow[/mm] Elementarfunktion
aber
Elementarfunktion [mm] \Rightarrow[/mm] Treppenfunktion
geht i.A. nicht.
Siehe mein Beipiel
Nach Definition muß von:
Die Funktion $ [mm] f:[a,b]\to \mathbb{R} [/mm] $ heisst Treppenfunktion, wenn eine Unterteilung $ [mm] a=x_0<....
muß also [mm]n<\infty[/mm]
Also wenn ich für die oben angegebene Funktion eine Treppenfunktion konstruieren würde, dann würde mein $n gegen [mm] \infty$ [/mm] streben.
Damit gibt es keine Treppenfunktion für die gennante funktion.
Danke freshstyle
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Do 20.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
also anstatt Treppenfunktion [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Elementarfunktion meinst Du wohl: Jede Treppenfunktion ist eine Elementarfunktion. Umgekehrt gilt i.a. nicht, dass jede Elementarfunktion auch eine Treppenfunktion ist.
> Also wenn ich für die oben angegebene Funktion eine
> Treppenfunktion konstruieren würde, dann würde mein [mm]n gegen \infty[/mm]
> streben.
> Damit gibt es keine Treppenfunktion für die gennante
> funktion.
nein, das kann man so nicht formulieren. Du betrachtest
$ [mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x\in \IQ \mbox{} \\ 0, & \mbox{für } x\in\IR\setminus\IQ \mbox{ } \end{cases}$
[/mm]
Diese Funktion ist offensichtlich eine Elementarfunktion, da die Funktion nur die beiden Werte $0$ und $1$ annimmt. Angenommen, die Funktion wäre eine Treppenfunktion. Insbesondere wäre die Funktion eingeschränkt auf $[0,1]$ dann eine Treppenfunktion. Dann gäbe es ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] und eine Unterteilung
[mm] $0=x_0 [/mm] < [mm] x_1 [/mm] < ... < [mm] x_n=1$
[/mm]
der Art, dass Konstanten [mm] $c_0,...,c_{n-1}$ [/mm] existierten, so dass [mm] $f(x)=c_{i}$ [/mm] für alle $x [mm] \in (x_i,x_{i+1})$ [/mm] für $i=0,...,n-1$.
Nehmen wir nun irgendein Intervallstück [mm] $(x_j,x_{j+1})$ [/mm] heraus (d.h. wir wählen ein $j [mm] \in \{0,1,...,n-1\}$ [/mm] und halten dieses fest), so könnte dann, weil ja $f$ auf [mm] $\IR$ [/mm] schon nur die Werte $0$ bzw. $1$ annimmt, dann dort nur [mm] $c_j=0$ [/mm] oder [mm] $c_j=1$ [/mm] gelten. Im Falle [mm] $c_j=0$ [/mm] hieße das dann aber, dass [mm] $(x_j,x_{j+1})$ [/mm] keine rationalen Zahlen enthielte, im Falle [mm] $c_j=1$ [/mm] hieße das, dass das Intervall [mm] $(x_j,x_{j+1})$ [/mm] nur rationale Zahlen enthielte. Beides steht aber (wegen [mm] $x_j [/mm] < [mm] x_{j+1}$) [/mm] im Widerspruch zu der Tatsache, dass das Intervall [mm] $(x_j,x_{j+1})$ [/mm] sowohl rationale als auch irrationale Zahlen enthält.
(Ein mögliches Argument:
Wegen [mm] $x_j [/mm] < [mm] x_{j+1}$ [/mm] ist [mm] $(x_j,x_{j+1})$ [/mm] nicht leer und überabzählbar, kann also nicht nur rationale Zahlen enthalten. Zudem findet man zwischen zwei verschiedenen reellen Zahlen immer eine rationale, d.h. es gibt eine rationale Zahl $r$ mit [mm] $x_j [/mm] < r < [mm] x_{j+1}$, [/mm] d.h. $r [mm] \in \IQ \cap (x_j,x_{j+1})$.
[/mm]
(Gegebenenfalls mit dieser Argumentation:
Zerlege [mm] $(x_j,x_{j+1})$ [/mm] in 3 gleich große Intervallstücke und wähle das $r$ aus dem mittleren (welches Du als beidseitig abgeschlossen wählst), d.h. setze [mm] $l:=\frac{x_{j+1}-x_j}{3}$ [/mm] und wähle $r [mm] \in \IQ$ [/mm] mit [mm] $x_j+l \le [/mm] r [mm] \le x_j+2l$.)
[/mm]
Die Argumente, die Überabzählbarkeit des Intervalls [mm] $(x_j,x_{j+1})$ [/mm] und die Existenz dieses $r$'s, findet man meist genauer begründet in Vorlesungen zur Analysis I.)
Damit muss die Annahme verworfen werden, dass obige Funktion als Treppenfunktion darstellbar ist.
(Dein "Argument" mit dem $n [mm] \to \infty$ [/mm] ist nämlich eigentlich mehr ein Scheinargument:
Ich denke, Du meinst, dass man damit die Funktion "besser" durch eine Treppenfunktiion approximierte. Aber egal, wie klein man die Intervallstücke auch wählt, jede Treppenfunktion liegt bei dieser Funktion "meilenweit" daneben. In einem gewissen Sinne könnte man sagen:
Wenn man das $n$ vergrößert und damit die Intervallstücke verkleinert, so hat man nichts gewonnen, denn wenn man näher ranzoomt, hat man genau die gleichen Probleme. Eben, weil es in JEDEM Intervall $(a,b)$ mit $a < b$ eben immer rationale und irrationale Zahlen gibt und die rationalen (und auch die irrationalen) ja auch noch dicht darin liegen.)
P.S.:
Du hast geschrieben:
"Die Funktion $ [mm] f:[a,b]\to \mathbb{R} [/mm] $ heisst Treppenfunktion, wenn eine Unterteilung $ [mm] a=x_0<....
Das kann so nicht stimmen, dort steht sicherlich eher so etwas:
$ [mm] f|_{\red{(}x_i,x_{i+1}\red{)}}=c_i [/mm] $
Ansonsten wäre ja schon unklar:
Ist [mm] $f(x_1)=c_0$, [/mm] da [mm] $x_1 \in [x_0,x_1]$, [/mm] oder ist [mm] $f(x_1)=c_1$, [/mm] da [mm] $x_1 \in [x_1,x_2]$? [/mm] D.h. dort wäre unklar, was bei den "Intervallübergängen" ist, d.h. obiges ist nicht wohldefiniert.
P.P.S.:
Ich habe eben gesehen, dass dieses Problem ursprünglich gar nicht von Dir stammt und daher weiter unten noch eine Korrekturmitteilung dazu geschrieben!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:57 Fr 21.03.2008 | | Autor: | freshstyle |
Hallo,
danke noch mals das du darüber geschaut hast.
Das hilft mir sicherlich weiter.
MFG
freshstyle
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 15:23 Do 20.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> also eine Treppenfunktion ist wie folgt definiert:
>
> Die Funktion [mm]f:[a,b]\to \mathbb{R}[/mm] heisst Treppenfunktion,
> wenn eine Unterteilung [mm]a=x_0<....
> [mm]f|_{[x_i,x_{i+1}]}=c_i[/mm] konstant ist.
es gibt verschiedene mögliche Definitionen einer Treppenfunktion, allerdings ist diese hier sicherlich nicht gängig 
Der Grund ist banaler Natur:
Für jedes [mm] $x_j$ [/mm] mit $j=1,...,n-1$ gilt [mm] $x_j \in [x_{j-1},x_j]$ [/mm] sowie [mm] $x_j \in [x_j,x_{j+1}]$. [/mm] Was wäre denn dann [mm] $f(x_j)$?
[/mm]
Wäre [mm] $f(x_j)=c_{j-1}$, [/mm] da [mm] $x_j \in [x_{j-1},x_j]$? [/mm] Oder wäre
[mm] $f(x_j)=c_{j}$, [/mm] da [mm] $x_j \in [x_{j},x_{j+1}]$
[/mm]
Beides zusammen wäre nur möglich, wenn [mm] $c_{j-1}=c_j$ [/mm] (da $f$ ja eine Funktion sein soll) und damit wäre diese "Treppenfunktion" sehr banaler Natur.
Also:
Man ersetze oben [mm] $f_{|[x_{j-1},x_j]}$ [/mm] durch [mm] $f_{|(x_{j-1},x_j)}$
[/mm]
(Ob es auch gängig ist:
[mm] $f_{|(x_{j-1},x_j]}$ [/mm] oder [mm] $f_{|[x_{j-1},x_j)}$ [/mm]
zu benutzen, weißt ich gerade nicht. Würde man das, so hätte man aber z.B. Probleme bei der Signumsfunktion $sgn(.)$ (Vorzeichenfunktion). Vielleicht sagt man daher besser noch allgemeiner:
$f$ heißt Treppenfunktion auf $[a,b]$, wenn man $[a,b]$ in endlich viele, disjunkte Intervalle so zerlegen kann, dass $f$ auf jedem solchen Intervall konstant ist.
Bei $sgn(.)$ könnte man dann z.B. auf $[-2,3]$ von einer Treppenfunktion sprechen:
$sgn(0)=0$, $sgn(x)=-1$ für alle $x [mm] \in [/mm] [-2,0)$ und $sgn(x)=1$ für alle $x [mm] \in [/mm] (0,3]$.
D.h. [mm] $sgn(x)=c_k$ [/mm] auf [mm] $I_k$ [/mm] für $k=1,2,3$, wobei [mm] $c_1=-1$, $c_2=0$ [/mm] und [mm] $c_3=1$ [/mm] mit [mm] $I_1:=[-2,0)$, $I_2:=\{0\}=[0,0]$ [/mm] und [mm] $I_3:=(0,3]$.)
[/mm]
Die "Intervallstücke" müssen jedenfalls disjunkt sein, sonst hat man ein Problem mit der Wohldefiniertheit im Sinne, dass eine Treppenfunktion dann gar keine Funktion mehr wäre.
Gruß,
Marcel
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