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| Aufgabe | Untersuchen Sie auf Konvergenz
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k* \wurzel[k]{k}}
[/mm]
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Ich muss schon wieder stören, ich komme mit dem Thema einfach nicht klar. Die Definitionen sind ja recht einfach aber das anwenden....cih bin echt am verzweifeln :-(
Ich hoffe mir kann ein letztes mal jemand helfen.Vielen dank schon mal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:04 Fr 10.11.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo,
du musst zuerst nachweisen, das der Grenzwert von [mm] \wurzel[k]{k}=1 [/mm] ist, dann ist der Rest sicher leicht 
Liebe Grüße
Herby
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wie kann ich das denn nachweisen. ich kann mit den ganzen kriterium nicht rechnen, ich verstehe wohl was das bedeutet,aber anwenden...:-(
bitte hilf mir
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:02 Fr 10.11.2006 | | Autor: | Herby |
Moin,
du musst hier ein [mm] \varepsilon [/mm] suchen und damit deine Wurzel einengen.
Es sei [mm] \varepsilon>0 [/mm] und bekannt, dass eine Exponentialfunktion rascher wächst als jedes Polynom!
Dann gibt es einen Index [mm] k_0=k_0(\varepsilon) [/mm] mit
[mm] k\le (1+\varepsilon)^k\quad (k\ge k_0)
[/mm]
also ist
[mm] 1\le\wurzel[k]{k}\le1+\varepsilon
[/mm]
da [mm] \varepsilon [/mm] beliebig klein werden kann ist die Behauptung [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{k}=1 [/mm] gezeigt.
So, nun musst du noch deine Reihe mit der neuen Erkenntnis divergieren lassen
Liebe Grüße
Herby
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hey danke. wie ich da nun zeigen soll, dass das divergiert weiß ich nicht so ganz genau, aber ich habe eine andere lösung.ich weiß nicht ob sie richtig ist, vielleicjt könntest du mal drüber gucken oder mir das zeigen wie ich das nun zeige dass das divergioert.
also meine lösung sieht wie folgt aus:
[mm] \wurzel[k]{k}= k^{\bruch{1}{k}} [/mm] R:= [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k} [/mm] ist divergent
[mm] k^{\bruch{1}{k}}< [/mm] 2 für alle k [mm] \Rightarrow \bruch{1}{2k} [/mm] < [mm] \bruch{1}{k*k^{\bruch{1}{k}}} \Rightarrow \bruch{R}{2} [/mm] < [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k*k^{\bruch{1}{k}}}
[/mm]
Folglich ist die Reihe divergent, da r divergent ist
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da ich ja weiß das der grenzwert von [mm] \wurzel[k]{k} [/mm] = 1 ist ist der rest doch eigentlich recht einfach oder?
ich kann dann doch schreiben [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k* \wurzel[k]{k}} [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k} [/mm] da ich ja weiß das der grenzwert von [mm] \wurzel[k]{k} [/mm] = 1 ist und somit weiß ich das [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k} [/mm] divergiert.
kann ich das denn so machen?eigentlich wohl oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 Mi 15.11.2006 | | Autor: | Herby |
Hi,
> da ich ja weiß das der grenzwert von [mm]\wurzel[k]{k}[/mm] = 1 ist
> ist der rest doch eigentlich recht einfach oder?
>
> ich kann dann doch schreiben [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k* \wurzel[k]{k}}[/mm]
> = [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k}[/mm]
> da ich ja weiß das der grenzwert von [mm]\wurzel[k]{k}[/mm] = 1 ist
> und somit weiß ich das [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k}[/mm]
> divergiert.
>
> kann ich das denn so machen?eigentlich wohl oder?
ja, du kannst einerseits deine Reihe für ein [mm] k>k_0 [/mm] auf die harmonische Reihe zurückführen oder aber auch die von dir vorgeschlagene Abschätzung mit [mm] \wurzel[k]{k}<2 [/mm] vornehmen.
nur wende die Abschätzung nicht auf die Reihe an, sondern auf die Summanden
Liebe Grüße
Herby
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Cauchy-Kriterium
