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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:20 Di 27.06.2006 | | Autor: | alexus |
| Aufgabe | 1.1 Die Funktion f: [mm] \IR-> \IR [/mm] sei definiert durch
[mm] f(x)=\begin{cases} 1/q, & \mbox{falls x e Q mit x=p/q, p,q e N, ggT(p,q)=1} \\ 1, & \mbox{falls x=0}\\0, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie, dass f(x) in jedem Punkt x [mm] \in \IQ [/mm] unstetig ist, und dass f(x) in jedem Punkt x [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] stetig ist.
1.2 Es sei f:R->R eine monotone Funktion. Beweisen Sie, dass es höchstens abzählbar viele Punkte in R gibt, in welchen die Funktion f unstetig ist.
1.3 Entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen richtig bzw. falsch sind und begründen Sie ihre Antwort ausführlich:
(a) Ist f:[0, [mm] \infty[->R [/mm] gleichmäßig stetig, so existiert [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)
[/mm]
(b) Ist f:[0, [mm] \infty[->R [/mm] stetig und existiert [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x), [/mm] so ist f gleichmäßig stetig auf [0, [mm] \infty[.
[/mm]
1.4 Sei M [mm] \subset [/mm] R eine beschränkte Teilmenge von R und sei f:M->R gleichmäßig stetig auf M. Zeigen Sie, dass f(M) beschränkt ist. |
Also die 1.1, dass f(x) in jedem Punkt x e Q unstetig ist hab ich mir an dem Beispiel 1/5 überlegt, da f(1/5)=1/5, jedoch [mm] \limes_{x\rightarrow\ 1/5}=0, [/mm] da ja beim sich Nähern an 1/5 die Nenner der Brüche immer größer werden, z.b.
1000/5001. Es ist halt nur ein Beispiel und ich denke nicht, dass das als Beweis genügt.
Dass f(x) in allen irationalen Zahlen stetig ist, hab ich dadurch gezeigt, dass ja
f(ir) = 0 und [mm] \limes_{x\rightarrow\ ir}=0, [/mm] siehe oben. Weiß aber auch nicht, ob das so ganz astrein ist.
Bei 1.2, 1.3, 1.4 hab ich keinen Schimmer, wie ich da rangehn soll.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 29.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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