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Hey ihr Lieben, ich habe mal wieder eine aufgabe, mit der ich schwierigkeiten habe.
Also die Aufgabe lautet:
Gegeben ist eine Funktion f(x) = [mm] \bruch{x^3 + 3x^2}{3(x-1)} [/mm] ; x ungleich 1
a) Untersuchen Sie die Funktion auf gemeinsame Punkte mit der x-Achse, Hoch- und Tiefpunkte sowie Asymptoten. Bestimmen sie ie Näherungskurve für große lxl.
--> hier bekomme ich als ableitungen:
f'(x) = [mm] \bruch{2x^3 - 6x}{3(x-1)^2} [/mm]
f''(x) = [mm] \bruch{2(x^3-3x^2+3x+3)}{3(x-1)^3} [/mm]
Nullstellen:
[mm] x_1= [/mm] 0
[mm] x_2=3
[/mm]
Extremstellen:
[mm] x_1=0
[/mm]
[mm] x_2= \wurzel{3}
[/mm]
[mm] x_3= [/mm] - [mm] \wurzel{3} [/mm]
als Überprüfung der Extremstellen erhalte ich:
für x= [mm] \wurzel{3}: [/mm] 7,464 -> Minimum
für x= - [mm] \wurzel{3}: [/mm] 0,5359 -> Minimum
für x= 0: -1 -> Maximum
Kann mir jemand helfen, ob ich das richtig gerechnet habe?
nun weiß ich nicht weiter bei den Asymptoten, da muss ich doch irgendwas mit [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] oder so machen oder? ich kann mir darunter nichts vorstellen....
wäre lieb, wenn mir jemand helfen kann. lg, tina
ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt.
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mit welcher gleichung muss ich denn eine polynomdivision durchführen? was bringt mit denn eine polynomdivision für die errechnung der asymptoten?
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Hallo!
> mit welcher gleichung muss ich denn eine polynomdivision
> durchführen? was bringt mit denn eine polynomdivision für
> die errechnung der asymptoten?
Na, mit deiner Funktion musst du eine Polynomdivision machen. Du hast doch einen Zähler und einen Nenner, also kannst du dividieren:
[mm] (x^3+3x^2):(3(x-1))=?
[/mm]
Wie Roadrunner schon sagte, erhältst du dann einen ganzrationalen Term und einen gebrochenrationalen Restterm. Von diesen beiden kannst du aber viel einfacher die Asymptote bestimmen.
Probierst du's mal? Du kannst uns ja das Ergebnis der Polynomdivision mitteilen, dann können wir dir weiterhelfen, falls du dann nicht weiterkommst. 
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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also bei der polynomdivision erhalte ich jetzt einmal [mm] \bruch{x^2}{3} [/mm] + [mm] \bruch{x}{3} [/mm] + 3 + x und einmal 3x + 9
-> aber wie habe ich mir asymptoten denn vorzustellen? ich glaube, ich stehe nur so auf dem schlauch, weil ich nicht weiß, was asymptoten sind und deshalb auch nicht weiß, wie ich sie berechnen soll;).
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Hallo Tina!
> also bei der polynomdivision erhalte ich jetzt einmal
> [mm]\bruch{x^2}{3}[/mm] + [mm]\bruch{x}{3}[/mm] + 3 + x und einmal 3x + 9
Ups, was hast Du denn hier gerechnet? Da habe ich etwas völlig anderes heraus.
Vielleicht solltest Du hier mal Deinen Rechenweg posten. Zur Vereinfachung klammer doch vorher [mm] $\bruch{1}{3}$ [/mm] aus.
> -> aber wie habe ich mir asymptoten denn vorzustellen? ich
> glaube, ich stehe nur so auf dem schlauch, weil ich nicht
> weiß, was asymptoten sind und deshalb auch nicht weiß, wie
> ich sie berechnen soll;).
Eine Asymptote ist eine Kurve (kann auch eine Gerade sein), die sich in einem bestimmten Bereich (i.a. [mm] $|x|\rightarrow \infty$) [/mm] beliebig an die vorgegebene Funktion annähert.
Das heißt für große $x_$ ist die Asymptotenfunktion eine sehr gute Näherung (und meist viel einfachere Funktion) als die Ursprungsfunktion.
Für Deine gegebene Funktion sieht das folgendermaßen aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Du siehst hier unsere Ausgangsfunktion $f(x)_$ und die Asymptote, die sich ja an den Rändern für große $x_$ fast mit $f(x)_$ deckt.
Gruß vom
Roadrunner
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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okay, vielen dank für die erklärung;)..ich bin einfach zu dumm glaub ich....
also meine rechnung:
[mm] (x^3 [/mm] + [mm] 3x^2) [/mm] : (3x-3) = [mm] \bruch{x^2}{3} [/mm] + [mm] \bruch{x}{3} [/mm] + 3 + x
- [mm] (x^3-x^2)
[/mm]
[mm] x^2 [/mm] + [mm] 3x^2
[/mm]
- [mm] (x^2^ [/mm] - x)
x + [mm] 3x^2
[/mm]
-(x - 9)
[mm] 3x^2 [/mm] + 9
[mm] -(3x^2 [/mm] - 3x)
3x + 9
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 Mi 14.09.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. überall, wo der Nenner Null wird, aber der Zähler nicht, hier also bei x=1 hast du eine "Polstelle", d.h. f(x) geht gegen unendlich, die Gerade x=1 ist dann auch Assymptote.
Eigentlich nennt man nur Geraden Assymptoten, aber manche Leute, z.Bsp. Roadrunner nennen die Funktion, der sich f(x) nähert für x gegen Unendlich auch Assymptote. Besser sagt man für x geg. Unendl. verhält sich f(x) immer mehr wie....
In deiner Aufgabe steht dafür: diskutiere das Verhalten für x gegen [mm] +\infty [/mm] und x gegen [mm] -\infty.
[/mm]
DAZU brauchst du die Polynomdivision, (oder wenn Zähler und Nenner an derselben Stelle Null werden)
sonst siehst du ja nur, dass Zähler und Nenner gegen [mm] \infty [/mm] gehen und nichts genaueres.
Jetzt zu den Fehlern in deiner Polynomdivision: du musst wirklich subtrahieren! 1. Zeile richtig
>
>
> [mm](x^3[/mm] + [mm]3x^2)[/mm] : (3x-3) = [mm]\bruch{x^2}{3}[/mm] + [mm]\bruch{x}{3}[/mm] + 3 +
> x
> - [mm](x^3-x^2)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
bis hier richtig aber du musst die (-x^{2}} doch von den 3x^{2} oben
> [mm]x^2[/mm] + [mm]3x^2[/mm]
das hast du hier gemacht aber [mm]x^2[/mm] + [mm]3x^2=4x^2[/mm]
und deshalb wirds ab hier falsch.
> - [mm](x^2^[/mm] - x)
> x + [mm]3x^2[/mm]
> -(x - 9)
>
> [mm]3x^2[/mm] + 9
> [mm]-(3x^2[/mm] - 3x)
> 3x + 9
Das richtige Ergebnis ist dann:
[mm](x^3[/mm] + [mm]3x^2)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
: (3x-3) =\bruch{x^{2}}{3}+\bruch{4x}{3}+\bruch{4}{(3x-3)
So und jetz nach der Rechnerei fängt das Denken an:
für grosse pos. und neg. x wird der letzte Bruch winzig, d.h. für x gegen \pm\infty fällt er weg, und f(x) verhält sich wie \bruch{x^{2}}{3}+\bruch{4x}{3}
Rechne die Polynomdivision noch mal durch. vielleicht hättest du weniger Fehler gemacht, wenn du nur durch (x-1) div. hättest und erst das ergebnis dann noch durch 3, wie dir bastiane geraten hat. (Also Ratschläge immer genau lesen!)
Gruss leduart
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okay, also jetzt erhalte ich nach der polynomdivision: [mm] \bruch{x^2}{3} [/mm] + [mm] \bruch{4x}{3} [/mm] + [mm] \bruch{3}{4} [/mm] --> jedoch bleibt unten [mm] \bruch{9}{4} [/mm] stehen,die division geht also nicht auf. und nun?
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Hallo Tina!
> okay, also jetzt erhalte ich nach der polynomdivision:
> [mm]\bruch{x^2}{3}[/mm] + [mm]\bruch{4x}{3}[/mm] + [mm]\bruch{3}{4}[/mm]
> --> jedoch bleibt unten [mm]\bruch{9}{4}[/mm] stehen,
> die division geht also nicht auf. und nun?
Also ich habe etwas geringfügig anderes heraus (bitte nochmal nachrechnen):
[mm]\bruch{x^2}{3} + \bruch{4x}{3} + \bruch{\red{4}}{\red{3}} + Rest(\red{4})[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Dass die Polynomdivision unserer Funktion nicht aufgeht, war ja vorher klar.
Das heißt doch, dass wir unsere Funktion nun schreiben können als:
$\bruch{x^3+3x^2}{3*(x-1)} \ = \ \bruch{x^2}{3} + \bruch{4x}{3} + \bruch{4}{3} + \bruch{4}{3*(x-1)} \ = \ \bruch{1}{3}*\left(x^2+4x+4\right) + \bruch{4}{3*(x-1)}$
Dabei ist dann der Ausdruck $\bruch{1}{3}*\left(x^2+4x+4\right) \ = \ \bruch{1}{3}*\left(x+2)^2$ als ganzrationaler Funktionsterm unsere Näherungsfunktion, die gemäß Aufgabenstellung gesucht ist.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:36 Mi 14.09.2005 | | Autor: | TinaHansen |
okay, das verstehe ich:), vielen ank...ich begreife nur irgendwie nicht, warum das jetzt der ausdrück für die näherungsfuntion ist? ich kann das irgendwie nicht nachvoll ziehen...:(
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Hallo Ihr Lieben,
Hier ist der Graph euerer Funktion:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Schöne Grüße,
Ladis
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:00 Mi 14.09.2005 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Tina!
Ergänzend zu ladislauradu's Skizze ...
Hast Du Dir mal meine Skizze oben [mm] ($\leftarrow$ [i]click it![/i]) mal angesehen.
Da sind doch sowohl die Ausgangsfunktion $f(x) \ = \ \bruch{x^3+3x^2}{3*(x-1)}$ als auch die Näherungsfunktion $a(x) \ = \ \bruch{1}{3}*(x+2)^2$ dargestellt.
Gruß vom
Roadrunner
[/mm]
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Hallo an alle,
Ergänzend zu Roadrunner:
Es gibt unendlich viele Näherungsfunktionen.
Die Funktion
[mm]a(x)=\bruch{1}{3}(x+2)^{2}[/mm]
ist eine Näherungsfunktion weil:
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty}(f(x)-a(x))=0[/mm]
Schöne Grüße,
Ladis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:47 Mi 14.09.2005 | | Autor: | TinaHansen |
okay, ich kanns mir jetzt wenigstens ein wenig besser vorstellen;)....vielen ank!
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Die aufgabe c lautet: Im 3. Feld schließen die x-Achse und die Kurve eine fläche ein. gesucht: inhalt
A = [mm] \integral_{1}^{3} [/mm] {f(x) dx} = [mm] \integral_{1}^{3} {\bruch{x^3+3x^2}{3(x-1)} dx} [/mm]
-> aber wie berechne ich denn as integral denn die funktion ein quotient ist? LG
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Hallo TinaHansen,
> A = [mm]\integral_{1}^{3}[/mm] {f(x) dx} = [mm]\integral_{1}^{3} {\bruch{x^3+3x^2}{3(x-1)} dx}[/mm]
schreibe den Integranden als Summe einer ganzrationalen und einer gebrochenrationalen Funktion:
[mm]f(x)\;=\;A\;x^{2}+\;B\;x\;+\;C+\;\frac{D}{x\;-\;1}[/mm]
Gruß
MathePower
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tut mir leid,aber ich versteeh nicht, wie du auf die gleichung kommst:(...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:26 Mi 14.09.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast doch schon die Funktion durch Polynomdivision genau auf so ne Form gebracht. Da die Plynomdivision die fkt. ja nicht ändert , kannst du diese einfachere Funktion integrieren.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:33 Mi 14.09.2005 | | Autor: | TinaHansen |
okay, vielen anke, ich versuchs mal;)
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Polynomdivision