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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 Mo 26.01.2009 | | Autor: | splin |
| Aufgabe | Gegeben sei die Matrix A [mm] =\pmat{1& 1& 0& 0\\2& 3& 2& 0\\2& 0& -1& 1\\3& 2& 1& 1}\in \IR ^4\times^4
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Dimension und eine Basis der Bildmenge [mm] A(\IR^4)
[/mm]
b) Prüfen Sie, ob w = (1; 1; 1; [mm] 1)^T \in A(\IR^4).
[/mm]
c) Ist A invertierbar?
d) Welche Dimension hat der Nullraum N(A)?
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Hallo,
als erstes habe ich die Matrix auf Zeilenstufenform gebracht:A [mm] =\pmat{0& 0& 0& 0\\1& 1& 0& 0\\-1& -2& -2& 0\\3& 2& 1& 1}
[/mm]
a)Da die Anzahl von Null unterschiedlichen Zeilen gleich 3 ist heißt es dass die Dimension dieser Matrix gleich drei ist.
Bei der Basis gibt es Schwierigkeiten.
Ich weiß das eine Menge von m linear unabhängigen Vektoren mit jeweils m Elementen bildet eine Basis im Raum [mm] \IR^m
[/mm]
Im meinem Fall wäre es 4 lin unabhängigen Vektoren nötig.
Aber aus der Zeilenstufenform ist es ersichtlich das nur 3 Vektoren lin. unabhängig sind nähmlich die Zeilen welche von Null verschieden sind (obwohl das habe ich aus einem Buch und das ist mir nicht ganz verständlich).
Wie bestimme ich eine Basis?
Muss ich einfach die Spaltenvektoren einer Matrix auf lineare Abhängigkeit überprüfen?
Und wenn dort nur 2 oder 3 lin. unabhängig wie bestimme ich die andere Vektoren? Denn ich brauche genau 4 für eine Basis in [mm] \IR^4 [/mm] ?
b) hier weiß ich nicht genau was ich machen muss.
Etwa w auf die rechte Seite der Matrix stellen
c)Wenn man ddas Produkt der Diagonale der Zeilenstufenform der Matrix A bildet kommt die 0 raus es heißt det(A)=0 also diese Matrix ist nicht invertierbar.
d) Wie bestimme ich einen Nullraum?
Ist die Dimension dann auch die Anzahl von Null unterschiedlichen Zeilen?
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Hallo splin,
> Gegeben sei die Matrix $A [mm] =\pmat{1& 1& 0& 0\\2& 3& 2& 0\\2& 0& -1& 1\\3& 2& 1& 1}\in \IR ^4\times\IR^4$
[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie die Dimension und eine Basis der Bildmenge
> [mm]A(\IR^4)[/mm]
> b) Prüfen Sie, ob w = (1; 1; 1; [mm]1)^T \in A(\IR^4).[/mm]
> c) Ist
> A invertierbar?
> d) Welche Dimension hat der Nullraum N(A)?
>
> Hallo,
> als erstes habe ich die Matrix auf Zeilenstufenform
> gebracht:A [mm]=\pmat{0& 0& 0& 0\\1& 1& 0& 0\\-1& -2& -2& 0\\3& 2& 1& 1}[/mm]
Hmm, das ist eine etwas ungewöhnliche Form der Zeilenstufenform, ich erhalte
[mm] $\pmat{1&1&0&0\\0&1&2&0\\0&0&3&1\\0&0&0&0}$
[/mm]
>
> a)Da die Anzahl von Null unterschiedlichen Zeilen gleich 3
> ist heißt es dass die Dimension dieser Matrix gleich drei
> ist.
es gibt keine Dimension einer Matrix, das ist ein Begriff, der sich auf Vektorräume bezieht.
Du meinst, die Matrix A hat den Rang 3
> Bei der Basis gibt es Schwierigkeiten.
> Ich weiß das eine Menge von m linear unabhängigen Vektoren
> mit jeweils m Elementen bildet eine Basis im Raum [mm]\IR^m[/mm]
> Im meinem Fall wäre es 4 lin unabhängigen Vektoren nötig.
> Aber aus der Zeilenstufenform ist es ersichtlich das nur 3
> Vektoren lin. unabhängig sind nähmlich die Zeilen welche
> von Null verschieden sind (obwohl das habe ich aus einem
> Buch und das ist mir nicht ganz verständlich).
Es gilt der Satz: $rang(A)=dim(Bild(A))$, also ist die Dimension des Bildes von A =3
Da die Spalten(vektoren) von A das Bild(A) erzeugen, suche dir entsprechend 3 linear unabh. Spaltenvektoren von A aus als Basis
> Wie bestimme ich eine Basis?
> Muss ich einfach die Spaltenvektoren einer Matrix auf
> lineare Abhängigkeit überprüfen?
Ja!
> Und wenn dort nur 2 oder 3 lin. unabhängig wie bestimme ich
> die andere Vektoren? Denn ich brauche genau 4 für eine
> Basis in [mm]\IR^4[/mm] ?
Nee, nee, das $Bild(A)$ ist ein 3-dimensionaler Unterraum
des [mm] $\IR^4$ [/mm] !! (denn $rang(A)=3$, das hast du selbst errechnet  )
>
> b) hier weiß ich nicht genau was ich machen muss.
> Etwa w auf die rechte Seite der Matrix stellen
Das kannst du machen, oder du prüfst nach, ob sich [mm] $\vec{w}$ [/mm] als Linearkombination der in (a) (noch nicht) bestimmten Basis schreiben lässt. Falls ja, hast du gewonnen, falls nein, hat [mm] \vec{w} [/mm] verloren
> c)Wenn man ddas Produkt der Diagonale der Zeilenstufenform
> der Matrix A bildet kommt die 0 raus es heißt det(A)=0 also
> diese Matrix ist nicht invertierbar. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das ergibt sich aber auch direktemeng aus (a).
Die Matrix hat mit Rang 3<4 nicht den vollen Rang (4), ist damit nicht invertierbar
>
> d) Wie bestimme ich einen Nullraum?
> Ist die Dimension dann auch die Anzahl von Null
> unterschiedlichen Zeilen der Matrix in ZSF?
Nein, das ist der Rang der Matrix = Dimension des Bildes von A ist
Der Nullraum ist der Kern der Matrix
Deine Matrix ist vom Format [mm] $4\times [/mm] 4$, beschreibt dir also eine lineare Abbildung von [mm] $\IR^4\to\IR^4$ [/mm] (allg. beschreibt eine [mm] $m\times [/mm] n$-Matrix eine lin. Abb. von [mm] $\IR^n\to\IR^m$)
[/mm]
Nach dem Dimensionssatz ist [mm] $4=dim(\IR^4)=dim(Kern(A))+\underbrace{dim(Bild(A))}_{=3}$
[/mm]
Also ist der Kern eindimensional. (dh. eindimensionaler Unterraum des [mm] \IR^4)
[/mm]
Er errechnet sich als Lösungsmenge der Matrixgleichung [mm] $A\cdot{}\vec{x}=\vec{0}$
[/mm]
bzw. [mm] $\pmat{1& 1& 0& 0\\2& 3& 2& 0\\2& 0& -1& 1\\3& 2& 1& 1}\cdot{}\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{0\\0\\0\\0}$
[/mm]
Bestimme diese Lösungsmenge, benutze dazu die ZSF von A von oben (vllt. rechnest du die nochmal nach, weil sie etwas "komisch" aussieht )
LG
schachuzipus
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