Untersuchung nach Stetigkeit < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man untersuche die Stetigkeit der Funktion [mm] f:\IR² \to \IR [/mm] im Punkt (0,0).
f(x,y) = [mm] \bruch{x² - y²}{x² + y²} [/mm] für (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0), sonst 0, wenn (x,y) = (0,0) |
Hallo! :)
Ich hätte eine Verständnisfrage zur Grenzwertbestimmung. Also wenn ich den [mm] \limes_{x\rightarrow\x0}(\limes_{y\rightarrow\y0} [/mm] f(x,y)) ausrechne kommt bei mir 1 raus und umgekehrt -1 ... was sagt mir dsa aber? ich hab schon viel über stetigkeit gehört, aber irgendwie bin ich mir immer unsicher.
lt meiner definition ist eine funktion immer stetig, wenn
[mm] \limes_{x\rightarrow\x_{0}}_{y\rightarrow\y_{0}} [/mm] f(x,y) = [mm] f(x_{0},y_{0})
[/mm]
[mm] (x_{0} [/mm] und [mm] y_{0} [/mm] ist in diesem bsp halt 0), aber da hier nicht 0 rauskommt ist dsa ganze unstetig? ... ich weiß zwar, dass diese erkärung nicht stimmt, aber wieso nicht? Und was wäre denn eine (für mich verständliche) erklärung dafür? bin etwas verwirrt was das thema betrifft :)
vielen dank für jede antwort
lg
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> Man untersuche die Stetigkeit der Funktion [mm]f:\IR² \to \IR[/mm]
> im Punkt (0,0).
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> f(x,y) = [mm]\bruch{x² - y²}{x² + y²}[/mm] für (x,y) [mm]\not=[/mm] (0,0),
> sonst 0, wenn (x,y) = (0,0)
> lt meiner definition ist eine funktion immer stetig, wenn
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> [mm]\limes_{x\rightarrow\x_{0}}_{y\rightarrow\y_{0}}[/mm] f(x,y) =
> [mm]f(x_{0},y_{0})[/mm]
Hallo,
das bedeutet, daß Deine Funktion da oben stetig wäre, wenn ihr Grenzwert an der Stelle (0,0) gleich f(0,0)=0 wäre.
Du mußt also versuchen herauszufinden, ob
[mm] \limes_{\vektor{x \\ y}\rightarrow\\vektor{0 \\ 0}}f(x,y) [/mm] =0 richtig ist.
Hierfür ist es sinnvoll, sich ins Gedächtnis zurückzurufen, was es bedeutet, wenn eine Funktion g in a den Grenzwert g(a) hat: das bedeutet, daß für jede(!) Folge [mm] (x_n), [/mm] die gegen a konvergiert, die Folge der Funktionswerte [mm] (g(x_n)) [/mm] gegen g(a) konvergiert.
Findest Du nun für Deine Funktion f eine einzige Folge [mm] (\vektor{x_n \\ y_n}), [/mm] für die die Folge [mm] (f\vektor{x_n \\ y_n}) [/mm] nicht gegen 0 geht, so ist Deine Folge nicht stetig.
Und solch eine Folge ist zu finden.
Tip: schau Dich mal unter Folgen der Gestalt [mm] (\vektor{x_n \\ 0}) [/mm] um.
Gruß v. Angela
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> [mm](x_{0}[/mm] und [mm]y_{0}[/mm] ist in diesem bsp halt 0), aber da hier
> nicht 0 rauskommt ist dsa ganze unstetig? ... ich weiß
> zwar, dass diese erkärung nicht stimmt, aber wieso nicht?
> Und was wäre denn eine (für mich verständliche) erklärung
> dafür? bin etwas verwirrt was das thema betrifft :)
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> vielen dank für jede antwort
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> lg
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