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| Aufgabe | An einem Sommertag in Hannover wurden um 14.00 Uhr als höchste Temperatur 30°C gemessen, am frühen Morgen dieses Tages betrug die tiefste Temperatur 16°C. Die Funktion f mit f(t) = [mm] a*sin(\bruch{1}{12}*\pi*t+e)+d [/mm] beschreibe die Temperatur (in °C) an diesem Tag in Abhängigkeit von der Zeit t (in Stunden) nach Mitternacht.
a) Bestimmen Sie a, e und d.
b) Um wie viel Uhr ist die momentane Temperaturänderung maximal? |
Hallo an alle Forenmitglieder,
ich habe keine Ahnung wie ich hier rechnen muss.
Die Lösung ist laut Lösungsuch:
a) a=7; d=23; [mm] e=-\bruch{2}{3}\pi
[/mm]
b) 9 Uhr, 20 Uhr
Bitte um Lösungsansätze!
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Mi 21.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo matherein!
Setze die gegebenen Bedingungen ein. Zum Beispiel:
$$f(14) \ = \ ... \ = \ 30$$
Da es sich hier um ein Maximum handelt, muss gelten:
$$f'(14) \ = \ ... \ = \ 0$$
Die Sinusfunktion allein pendelt zwischen -1 und +1. Unsere Funktion soll nun also zwischen 16 und 30 pendeln.
Der Mittelwert beträgt damit 23.
Was heißt das für $d_$ ?
Der maximale Ausschlag vom Mittelwert beträgt 30-23 = 7.
Was bedeutet das für $a_$ ?
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
ich habe also [mm] f(14)=a*sin(\bruch{1}{12}*\pi*14+e)+d=30
[/mm]
[mm] a*sin(\bruch{7}{6}*\pi+e)+d=30
[/mm]
Die Ableitung ist [mm] f'(t)=a*cos(\bruch{1}{12}*\pi*t+e)*\bruch{1}{12}*\pi
[/mm]
[mm] \bruch{1}{12}*\pi*a*cos(\bruch{1}{12}*\pi*t+e)=0
[/mm]
[mm] f'(14)=\bruch{1}{12}*\pi*a*cos(\bruch{1}{12}*\pi*14+e)=0
[/mm]
[mm] \bruch{1}{12}*\pi*a*cos(\bruch{7}{6}*\pi+e)=0
[/mm]
Wie rechne ich damit weiter?
Was soll denn der Mittelwert für d bedeuten und der maximale Ausschlag für a? Ich komme leider selber nicht drauf...
Bitte um Hilfe
matherein
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> Hallo Loddar,
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> ich habe also [mm]f(14)=a*sin(\bruch{1}{12}*\pi*14+e)+d=30[/mm]
> [mm]a*sin(\bruch{7}{6}*\pi+e)+d=30[/mm]
> Die Ableitung ist
> [mm]f'(t)=a*cos(\bruch{1}{12}*\pi*t+e)*\bruch{1}{12}*\pi[/mm]
> [mm]\bruch{1}{12}*\pi*a*cos(\bruch{1}{12}*\pi*t+e)=0[/mm]
> [mm]f'(14)=\bruch{1}{12}*\pi*a*cos(\bruch{1}{12}*\pi*14+e)=0[/mm]
> [mm]\bruch{1}{12}*\pi*a*cos(\bruch{7}{6}*\pi+e)=0[/mm]
> Wie rechne ich damit weiter?
die gleichung ist null, wenn einer der faktoren 0 ist. bei a macht das keinen sinn, also muss der cosinus 0 werden. und das tut er das erste mal bei [mm] \pi/2. [/mm] somit musst du [mm] 7/6*\pi+e=\pi/2 [/mm] setzen und nach e auflösen!
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> Was soll denn der Mittelwert für d bedeuten und der
> maximale Ausschlag für a? Ich komme leider selber nicht
> drauf...
>
> Bitte um Hilfe
> matherein
gruß tee
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Guten Abend Fencheltee,
danke, den Lösungsweg für e = [mm] -\bruch{2}{3}*\pi [/mm] habe ich verstanden. Jetzt verstehe ich auch, was Loddar mit dem Mittelwert d und dem maximalen Ausschlag a meinte, das sind ja die Ergebnisse selbst!
Was ist aber mit dem Aufgabenteil b) mit der Uhrzeit?
Wie muss ich da rechnen?
Danke im Voraus
matherein
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Hallo matherein,
> Guten Abend Fencheltee,
>
> danke, den Lösungsweg für e = [mm]-\bruch{2}{3}*\pi[/mm] habe ich
> verstanden. Jetzt verstehe ich auch, was Loddar mit dem
> Mittelwert d und dem maximalen Ausschlag a meinte, das sind
> ja die Ergebnisse selbst!
>
> Was ist aber mit dem Aufgabenteil b) mit der Uhrzeit?
> Wie muss ich da rechnen?
Für t erhältst Du hier dann einen Zahlenwert,
den Du in eine Uhrzeit umrechnen musst.
Beispiel: t=10.25
Zunächst folgen die Stunden, diese sind gegeben durch die ganze Zahl, hier: 10
Dann die Minuten, dazu multiplizierst Du 0.25 mit 60.
Daraus ergeben sich die Minuten zu 15.
Die Uhrzeit ergibt daher zu: 10.15 Uhr.
>
> Danke im Voraus
> matherein
Gruss
MathePower
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Hallo Mathepower,
mein Lösungsansatz, um t auszurechnen ist für k=0
[mm] \bruch{1}{12}*\pi*a*cos(\bruch{1}{12}*\pi*t+e)=0
[/mm]
[mm] (\bruch{1}{12}*\pi*t+e)=\bruch{\pi}{2}+k*\pi
[/mm]
[mm] (\bruch{1}{12}*\pi*t-\bruch{2}{3}*\pi)=\bruch{\pi}{2}+k*\pi
[/mm]
[mm] \bruch{1}{12}*\pi*t=\bruch{\pi}{2}+\bruch{2}{3}*\pi
[/mm]
[mm] \bruch{1}{12}*\pi*t=\bruch{7}{6}*\pi
[/mm]
t=14
Aber das kann ja nicht sein. Wenn ich k=1 einsetze, kommt für t 26 raus, was also keine Uhrzeit sein kann, da über 24 Stunden!
Wahrscheinlich ist mein Lösungsansatz falsch, aber ich wusste keinen Anderen!
Danke im Voraus
matherein
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Do 22.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo matherein!
Um die maximale Temperaturänderung (= 1. Ableitung) zu ermitteln, musst Du die Nullstellen der 2. Ableitung ermitteln.
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
die 2. Ableitung ist ja: [mm] \bruch{1}{12}*\pi*a*-sin(\bruch{1}{12}*\pi*t+e)=0
[/mm]
[mm] \bruch{1}{144}*\pi^{2}*a*-sin(\bruch{1}{12}*\pi*t+e)=0
[/mm]
[mm] (\bruch{1}{12}*\pi*t+e)=k*\pi
[/mm]
Für k=0 ergibt das: [mm] \bruch{1}{12}*\pi*t-\bruch{2}{3}*\pi)=k*\pi
[/mm]
[mm] \bruch{1}{12}*\pi*t=\bruch{2}{3}*\pi
[/mm]
t=8
Für k=1 ergibt das: [mm] \bruch{1}{12}*\pi*t-\bruch{2}{3}*\pi)=\pi
[/mm]
[mm] \bruch{1}{12}*\pi*t=\bruch{5}{3}*\pi
[/mm]
t=20
Also das Ergebnis t=20 ist ja dasselbe wie im Buch. Aber im Buch steht anstatt der 8 eine 9? Was ist nun richtig?
Danke im Voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:27 Mo 26.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo matherein!
> die 2. Ableitung ist ja: [mm]\bruch{1}{12}*\pi*a*-sin(\bruch{1}{12}*\pi*t+e)=0[/mm]
Hier stimmt die 2. Ableitung nicht.
> [mm]\bruch{1}{144}*\pi^{2}*a*-sin(\bruch{1}{12}*\pi*t+e)=0[/mm]
Das sieht schon besser aus. auch wenn Du den Term mit dem Miniszeichen noch einklammern solltest, oder das minus ganz nach vorne ziehen,
> Also das Ergebnis t=20 ist ja dasselbe wie im Buch. Aber im
> Buch steht anstatt der 8 eine 9? Was ist nun richtig?
Ich habe ebenfalls 8:00h und 20:00h erhalten.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:51 Mo 26.10.2009 | | Autor: | matherein |
Hallo Loddar,
ich hatte einen Teil des Terms vergessen. Es sollte eigentlich [mm] \bruch{1}{12}*\pi*a*-sin(\bruch{1}{12}*\pi*t+e)*\bruch{1}{12}=0 [/mm] heißen.
Ja stimmt, ich hätte das Minus ganz nach vorne ziehen müssen.
Vielen Dank für die Hilfe
matherein
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