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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 So 06.07.2008 | | Autor: | sa_ho |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgende Abbildung auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität. Geben Sie notfalls Einschränkungen des Definitions- und Wertebereiches an, damit alles erfüllt ist.
f: {R [mm] \mapsto [/mm] R}
{x [mm] \mapsto x^{2} [/mm] - 2x -3 } |
Hallo,
..nach Umstellen der Formel komme ich auf [mm] (x-1)^{2} [/mm] - 4
- also liegt der Scheitelpunkt der zugehörigen Parabel bei (1,-4)
Prüfe ich zunächst auf Surjektivität, soll -nach Definition- zu jedem Bild mindestens ein Urbaild gehören.
Das verstehe ich so, dass zu jedem:
x [mm] \mapsto x^{2} [/mm] - 2x -3 als Funktionswert mindestens ein x gehört (?)
--> in dem Lösungsvorschlag steht nun, dass die Parabel nicht surjektiv ist, weil jeder Funktionswert <-4 nicht angenommen wird.
Und die Parabel soll nicht injektiv sein, da jeder Funktionswert >-4 2-mal angenommen wird.
Das verstehe ich nicht leider. Wie gehe ich denn da ran? Setze ich die Gleichung = 0, so kann doch x sowieso nur 3 oder -1 sein, also ist das wohl nicht der richtige Weg. Auch die Lösung für die Injektivität verstehe ich nicht. Vielleicht kann mir jemand das Vorgehen für den vorgegeben Lösungsvorschlag erklären? Stehe auf dem Schlauch...
Vielen Dank
S.H.
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Hallo!
Ich glaube ein ganz allgemeines Kochrezept, um zu bestimmen, ob Surjektivität, Injektivität etc. vorliegt, kannst du nur über die Definitionen erhalten (s. weiter unten). Allgemein hilft es aber schon zu wissen, was diese Eigenschaften anschaulich heißen.
Injektive Funktionen belegen jeden y-Wert höchstens einmal! Definition: [mm] a_{1} \not= a_{2} \Rightarrow f(a_{1}) \not= f(a_{2}) [/mm] (Wenn ich zwei verschiedene Werte einsetze, sollen auch zwei verschiedene rauskommen).
(Will man eine nicht-injektive Funktion irgendwie injektiv machen, muss man den Definitionsbereich verändern!)
Bild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Surjektive Funktionen belegen den gesamten Wertebereich. Definition: Zu jedem Wert b im Werte bereich existiert ein a im Definitionsbereich, sodass f(a) = b. (Will man eine nicht-surjektive Funktion irgendwie surjektiv machen, muss man den Wertebereich verändern!)
Bild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Bijektivität ist nun beides zusammen.
Wenn du nun deine Funktion hast, kann man so mal Injektivität anhand der Definition überprüfen:
Nehmen wir mal als Voraussetzung an, dass [mm] a_{1}\not=a_{2}. [/mm] Dann müsste auch [mm] f(a_{1}) \not=f(a_{2}) [/mm] gelten. Überprüfung:
[mm] f(a_{1}) \not= f(a_{2})
[/mm]
[mm] \gdw a_{1}^{2}-2a_{1}-3 \not= a_{2}^{2}-2a_{2}-3
[/mm]
[mm] \gdw a_{1}^{2}-2a_{1}-a_{2}^{2}+2a_{2} \not= [/mm] 0
[mm] \gdw (a_{1}-a_{2})*(a_{1}+a_{2})+2*(a_{2}-a_{1}) \not= [/mm] 0
[mm] \gdw -(a_{2}-a_{1})*(a_{1}+a_{2})+2*(a_{2}-a_{1}) \not= [/mm] 0
[mm] \gdw (a_{2}-a_{1})*(-(a_{1}+a_{2})+2) \not= [/mm] 0
[mm] \gdw (a_{2}-a_{1})*(-a_{1}-a_{2}+2) \not= [/mm] 0
Und man sieht nun schon: Es gibt offenbar noch eine Möglichkeit der Wahl von [mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{2}, [/mm] die nicht die Voraussetzung verletzt --> Also ist die Funktion nicht injektiv. Nun muss man überlegen, wie man den Definitionsbereich wohl wählen muss, damit das wieder klappt 
Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:04 Mi 09.07.2008 | | Autor: | sa_ho |
Hallo,
zunächst mal Vielen Dank für die sehr schnelle Antwort! Also die Definitonen verstehe ich - zumindest theoretisch auch, bzw. habe ja auch welche per Buch und Skript. Mein Problem liegt vielmerh in der praktischen Umsetzung des genannten Beispiels - Das ist vielleicht zu banal, aber ich verstehe schon nicht, warum die Parabelfunktion (als Abbildung) keine Werte <-4 annehmen kann und Werte >-4 2mal angenommen werden.. Die -4 ist doch der Y-Achsen Schnittpunkt?! Ist das bei Parabeln dann immer so, dass dieser Wert nicht kleiner sein darf für x? Das meint doch die Aussage, den Funktionswert, das x - oder???
Ich hoffe über erneute Hilfe--
Danke und Gruß
S. H.
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ich
> verstehe schon nicht, warum die Parabelfunktion (als
> Abbildung) keine Werte <-4 annehmen kann und Werte >-4 2mal
> angenommen werden.. Die -4 ist doch der Y-Achsen
> Schnittpunkt?! Ist das bei Parabeln dann immer so, dass
> dieser Wert nicht kleiner sein darf für x? Das meint doch
> die Aussage, den Funktionswert, das x - oder???
> Ich hoffe über erneute Hilfe--
> Danke und Gruß
> S. H.
Ich nehme einmal an, dass du dir die Parabel aufgezeichnet hast.
Der Scheitelpunkt S(1/-4) ist ihr tiefster Punkt. Punkte mit
kleineren y-Werten als -4 gibt es also auf der Parabel nicht.
Der Wertebereich der Funktion reicht also nur von -4 bis [mm] +\infty
[/mm]
und ist deshalb nicht ganz [mm] \IR. [/mm] Deshalb ist f nicht surjektiv.
Der y-Achsenschnittpunkt liegt bei (0/-3).
Merke: die Funktions-Werte einer Funktion sind ihre y-Werte.
Der Definitionsbereich dieser Funktion ist aber ganz [mm] \IR [/mm] , er enthält
alle Zahlen, die man für x in die Funktion einsetzen kann.
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:33 Mi 09.07.2008 | | Autor: | sa_ho |
Hallo..
ja - genau da lag mein verständnisproblem für's erste, vielen dank - ich denke, ich muss mich funktionen allgemein noch mal auseinandersetzen, ist schon so lang her! jetzt hab ich's verstanden mit der parabel! dann ist die einschränkung für die bijektivität
1 bis unendlich --> -4 bis unendlich ! (?)
lg
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Hallo!
> dann ist die
> einschränkung für die bijektivität
> 1 bis unendlich --> -4 bis unendlich ! (?)
Genau so ist es. Alternativ geht aber auch
-unendlich bis 1 --> -4 bis unendlich
oder auch jede Teilmenge dieser Definitions- und Wertebereiche, die "zusammenpassen" (d.h. der erste Wert im Definitionsbereich ergibt, wenn man f darauf anwendet, auch den ersten Wert im Wertebereich usw.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:15 Mi 09.07.2008 | | Autor: | sa_ho |
| Aufgabe | Aufgabenstellung wie gehabt für:
[mm] f(n)=\begin{cases} R \mapsto R \\ x \mapsto sin(x)*cos(x) \end{cases} [/mm] |
Hallo noch mal,
wie kann ich denn die gleiche Prozedur auf sin(x)*cos(x) anwenden. Also wenn ich mir ne Wertetabelle mache, dann kann ich ablesen, dass für den Wertebereich zwischen Minimum und Maximum Injektiv, Surjektivität und somit Bijektivität gegeben ist..Aber geht das auch "rechnerisch"?
..SH
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> Aufgabenstellung wie gehabt für:
> [mm]f(n)=\begin{cases} R \mapsto R \\ x \mapsto sin(x)*cos(x) \end{cases}[/mm]
>
> Hallo noch mal,
>
> wie kann ich denn die gleiche Prozedur auf sin(x)*cos(x)
> anwenden. Also wenn ich mir ne Wertetabelle mache, dann
> kann ich ablesen, dass für den Wertebereich zwischen
> Minimum und Maximum Injektiv, Surjektivität und somit
> Bijektivität gegeben ist..Aber geht das auch
> "rechnerisch"?
Hallo,
wenn Du weißt, daß [mm] sin(x)cos(x)=\bruch{1}{2}sin(2x) [/mm] ist, sollte das zu machen sein, denn die Eigenschaften des sinus sind ja bekannt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Mi 09.07.2008 | | Autor: | sa_ho |
Hallo..
ok - Danke bis dahin, selber drauf gekommen wäre ich nie, aber nun habe ich im Internet auch eine Tabelle gefunden, die [mm] \bruch{1}{2}*sin(2x) [/mm] für die Multiplikation zeigt. Gibt es einen Weg, wie man sich das auch ableiten kann, falls man mal keine Tabelle zur Hand hat? Ist das eine Ableitung?
Gibt es allgemeine "Rechenregeln" zum Rechnen mit Sinus, Kosinus, Tangens? In meinen Büchern bzw. im Netz, habe ich nichts derartiges gefunden bisher.
- Was mir schon unklar ist: Im Buch findet sich die Formel:
[mm] sin(x+2*\pi [/mm] ) = sin x
Wenn ich für x eine Zahl einsetze, kommt natürlich nicht auf beiden Seiten das Gleiche heraus..Wie ist das zu verstehen?
-An der Formel kann ich ablesen, dass die Sinuskurve um [mm] \bruch{1}{2} [/mm] gestreckt (gestaucht) ist (?). Und was sagt mir das 2x? Dass die Perioden doppelt so lang sind, wie "normal"? Also [mm] 2*2*\pi? [/mm]
Ich weiß, dieser Beitrag passt nicht unbedingt zum Thema Abbildungen, aber ich komme darauf zurück
Grüße, S.
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> Hallo..
> ok - Danke bis dahin, selber drauf gekommen wäre ich nie,
Hallo,
wenn Du öfter mit trigonometrischen Funktionen zu tun hast, kommst Du drauf - nachzuschlagen.
Ich denke mal, die meisten Leute machen es wir ich: sie sehen so etwas und schlagen in der Formelsammlung nach.
Im Kopf hab ich das meiste nicht verläßlich.
> aber nun habe ich im Internet auch eine Tabelle gefunden,
> die [mm]\bruch{1}{2}*sin(2x)[/mm] für die Multiplikation zeigt. Gibt
> es einen Weg, wie man sich das auch ableiten kann, falls
> man mal keine Tabelle zur Hand hat? Ist das eine
> Ableitung?
Du meinst jetzt, wie man die Funktionswerte von [mm] \bruch{1}{2}*sin(2x) [/mm] findet?
Offensichtlich sind sie ja an jeder Stelle halb so groß wie die von sin(2x).
Denken wir also über sin(2x) nach.
Ich gehe davon aus, daß Dir der Verlauf des Graphen von sin(x) bekannt ist.
So. Schau den Funktionswert der Sinusfunktion an einer Stelle a an. Und genau diesen Wert nimmt sin(2x) an der Stelle a/2 an.
So kannst Du aus den Werten von sin(x) an die von sin(2x) kommen.
> Gibt es allgemeine "Rechenregeln" zum Rechnen mit Sinus,
> Kosinus, Tangens? In meinen Büchern bzw. im Netz, habe ich
> nichts derartiges gefunden bisher.
Rechenregeln gibt es schon.
Es gibt die Periodizität und Symmetrie der Funktionen, welche oft eine Rolle spielt, es gibt Zusammenhänge der Funktionen untereinander, es gibt Additionstheoreme.
Man findetr das in Formaelsammlungen, die wichtigsten Eigenschaften muß man natürlich im Kopf haben.
>
> - Was mir schon unklar ist: Im Buch findet sich die Formel:
> [mm]sin(x+2*\pi[/mm] ) = sin x
> Wenn ich für x eine Zahl einsetze, kommt natürlich nicht
> auf beiden Seiten das Gleiche heraus..
Wieso nicht? Es muß!!!
Ach, ich weiß, was Du falsch machst, es liegt an der Einstellung des Taschenrechners
Du mußt Dich entscheiden, ob Du im Bogen- oder Gradmaß (RAD oder DEG) rechnen möchtest.
Ist der Rechner auf rad eingestellt, ist obiges richtig. Rechnest Du im Gradmaß, so lautet die obige Formel sin(x+360° ) = sin x.
> -An der Formel kann ich ablesen, dass die Sinuskurve um
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] gestreckt (gestaucht) ist (?).
Ja, gestreckt mit 1/2, also gestaucht.
> Und was sagt
> mir das 2x? Dass die Perioden doppelt so lang sind, wie
> "normal"?
Nein, die Periode ist nur halb so lang wegen des 2x.
Schau Dir mal beide Funktionen geplottet an.
Gruß . Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:11 Sa 19.07.2008 | | Autor: | sa_ho |
Hallo Angela,
Vielen Dank - besser als spät antworte ich noch mal.. Mein grundlegendes Problem lag wohl beim Verständnis der Winkelfunktionen. So ich jetzt alles richtig verstanden habe, lautet die Lösung dann:
Die Funktion sin x * cos x = [mm] \bruch{1}{2}*sin [/mm] (2x) ist für R [mm] \to [/mm] R nicht surjektiv, weil der Wertebereich eingeschränkt ist [-1, 1], also gibt es nicht für jedes Bild aus R ein Urbild. Außerdem nicht injektiv, weil es keine eindeutigen Zuordnungen für y gibt. Somit ist die Abbildung nicht bijektiv.
Sie würde es aber für [mm] [\bruch{\pi}{4}] [/mm] und [1,1]
Grüße, S.H.
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