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| Aufgabe | Die Folge [mm] (a_{n})_{n \ge 0} [/mm] sei bestimmt divergent gegen [mm] +\infty, [/mm] und die Folge [mm] (b_{n})_{n \ge 0} [/mm] sei konvergent.
Beweisen Sie:
a) Die Folge [mm] (a_{n}+b_{n})_{n \ge 0} [/mm] ist bestimmt divergent gegen [mm] +\infty.
[/mm]
b) Wenn [mm] \lim b_{n} [/mm] > 0 ist, ist die Folge [mm] (a_{n} b_{n})_{n \ge 0} [/mm] bestimmt divergent gegen [mm] +\infty. [/mm] |
Lösung:
a) Beh: [mm] (a_{n}+b_{n})_{n \ge 0} [/mm] ist bestimmt divergent gegen [mm] +\infty.
[/mm]
Bew: Sei [mm] (b_{n})_{n \ge 0} [/mm] konvergent gegen b
[mm] \Rightarrow (b_{n})_{n \ge 0} [/mm] ist beschränkt
[mm] \Rightarrow [/mm] Es existiert [mm] c_{n}\in\IR [/mm] f.j. [mm] n\in\IN, [/mm] so dass gilt:
[mm] b_{n}\ge c_{n}
[/mm]
Da [mm] \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=+\infty [/mm] folgt:
Es existiert ein [mm] N\in\IN, [/mm] so dass gilt f.j. [mm] n\ge [/mm] N
[mm] a_{n}>c [/mm] - [mm] c_{n} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f.j. [mm] n\in \IN [/mm] ist [mm] a_{n}+b_{n}>c-c_{n}+b_{n}=c +(b_{n}-c_{n})=c
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_{n} +b_{n}>c [/mm] f.j. n [mm] \ge \IN
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n}+b_{n})=+\infty
[/mm]
b) Beh: Für [mm] \limes b_{n}>0 [/mm] folgt: [mm] (a_{n} b_{n})_{n \ge 0} [/mm] ist bestimmt divergent gegen [mm] +\infty.
[/mm]
Bew: Da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}>0 [/mm] folgt:
[mm] b_{n}>\bruch{b_{n}}{2}>0 [/mm] f.j. [mm] n\in \IN
[/mm]
Es gibt c [mm] \in \IR_{+}, [/mm] so dass gilt [mm] a_{n}>c [/mm] für fast alle n
und somit gilt: [mm] a_{n} [/mm] > [mm] \bruch{2c}{b} [/mm] [mm] b\not=0 [/mm] für fast alle n
[mm] \Rightarrow a_{n} b_{n} \ge \bruch{2c}{b} [/mm] * [mm] \bruch{b}{2}=c
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Beh
Ich wäre froh, wenn mir jn. va. die (vier) unterstrichenen Teile erklären könnte (wie man da drauf kommt)!? Danke schon mal im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mo 19.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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