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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Di 14.09.2010 | | Autor: | Mathics |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f mit [mm] f(x)=-x^2 [/mm] + 4 (von x= 0-2)
Berechnen Sie eine Formel für die Berechnung der Ober-und Untersummen. |
Hallo,
ich habe das gezeichnet und bin gerade bei der Obersumme. Allerdings komme ich da nicht weiter, denn ich find keine allgemeine Formel für die Obersumme, die für jedes n bei dieser Funktion gilt.
Hier habe ich meine Zeichnung und meine Rechnung zusammengefasst:
(ich fand wichtig, dass Rechnung und Zeichnung zusammen sind)
http://img256.imageshack.us/img256/3954/51163370.png
Wie muss ich weiter vorgehen?
Bei der Funktion [mm] f(x)=x^2 [/mm] hat man ja für Obersumme Ob= [mm] (2/n)*(2/n)^2*\summe_{i=1}^{n}(i^2)
[/mm]
Und wie macht man dies hier mit [mm] f(x)=-x^2*f [/mm] ? Es ist ja eine monoton fallende Funktion.
Danke.
LG
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Hallo Mathics,
> Gegeben ist die Funktion f mit [mm]f(x)=-x^2[/mm] + 4 (von x= 0-2)
>
> Berechnen Sie eine Formel für die Berechnung der Ober-und
> Untersummen.
> Hallo,
>
> ich habe das gezeichnet und bin gerade bei der Obersumme.
> Allerdings komme ich da nicht weiter, denn ich find keine
> allgemeine Formel für die Obersumme, die für jedes n bei
> dieser Funktion gilt.
>
> Hier habe ich meine Zeichnung und meine Rechnung
> zusammengefasst:
> (ich fand wichtig, dass Rechnung und Zeichnung zusammen
> sind)
>
> http://img256.imageshack.us/img256/3954/51163370.png
>
>
> Wie muss ich weiter vorgehen?
> Bei der Funktion [mm]f(x)=x^2[/mm] hat man ja für Obersumme Ob=
> [mm](2/n)*(2/n)^2*\summe_{i=1}^{n}(i^2)[/mm]
>
> Und wie macht man dies hier mit [mm]f(x)=-x^2*f[/mm] ? Es ist ja
> eine monoton fallende Funktion.
Das spielt doch keine Rolle.
Die Obersumme berechnet sich nach wie vor mit Hilfe der Formel
[mm]Ob=\bruch{b-a}{n}*\summe_{i=1}^{n}f\left(i*\bruch{b-a}{n}\right)[/mm]
, wobei hier a=0 und b=2 ist.
>
> Danke.
>
> LG
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Di 14.09.2010 | | Autor: | Mathics |
ja,
aber wir sollte das halt nach diesem bestimmten Schema machen, wie ich es bei [mm] f(x)=x^2 [/mm] erläutert hab.
im ist es foglendermaßen erklärt die aufgabenstellung (der blaue kasten vor allem)
Danke.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:23 Di 14.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> aber wir sollte das halt nach diesem bestimmten Schema
> machen, wie ich es bei [mm]f(x)=x^2[/mm] erläutert hab.
Das ist kein Schema, da wurde nur der konstante Faktor vor die Summe gezogen.
Was ist
[mm] $i\cdot{}\bruch{b-a}{n}+a$ [/mm] für [mm] $i=0,\ldots [/mm] n$?
setzen wir ein: i=0, dann ist es a
[mm] $i=1,\ldots,n-1$ [/mm] dann sind es n-1 Punkte mit gleichem Abstand zueinander zwischen a und b, und
i=n, dann ist es b
insgesamt ist es also die Strecke von a nach b, unterteilt in n Intervalle mit Breite [mm] $\frac{b-a}n$
[/mm]
Die Funktion ist monoton fallend, also kriegen wir die Obersumme, wenn wir immer die linke Intervallgrenze nehmen, damit summieren wir von i=0 bis i=n-1
[mm] $O=\summe_{i=0}^{n-1}\bruch{b-a}{n}\cdot f\left(i\cdot{}\bruch{b-a}{n}+a\right) [/mm] $
und die Untersumme ist entsprechend, nur jeweils mit der rechten Intervallgrenze.
Dein "Schema" kriegst Du, wenn Du die Grenzen [a,b] und f einsetzt und dann ausklammerst. =)
> im ist es foglendermaßen erklärt die aufgabenstellung
> (der blaue kasten vor allem)
? im was?
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Di 14.09.2010 | | Autor: | Mathics |
alles klar.
Das "b" war doch jetzt mein Wert auf der x-Ache spirch in diesem Fall 2
Weil ja nur in dem Intervall (0-2) gefragt wurde. Und was ist a?
Und wie berechne ich dann die Untergrenze? ist das nicht dasslebe nur mit [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] ??
Danke.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Di 14.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Das "b" war doch jetzt mein Wert auf der x-Ache spirch in
> diesem Fall 2
Ja.
> Weil ja nur in dem Intervall (0-2) gefragt wurde. Und was
> ist a?
Sag Du's mir. Ich hab doch erklärt, was
$ [mm] i\cdot{}\bruch{b-a}{n}+a,\quad i=0,\ldots,n [/mm] $
macht. Wenn da irgendwas unklar war, kannst Du gerne nachfragen.
> Und wie berechne ich dann die Untergrenze? ist das nicht
> dasslebe nur mit [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] ??
Ja. Wenn die Funktion monoton fällt ist der höchste bzw. niedrigste Punkt immer die linke bzw. rechte Intervallgrenze.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Di 14.09.2010 | | Autor: | Mathics |
> Was ist
> [mm]i\cdot{}\bruch{b-a}{n}+a[/mm] für [mm]i=0,\ldots n[/mm]?
>
> setzen wir ein: i=0, dann ist es a
> [mm]i=1,\ldots,n-1[/mm] dann sind es n-1 Punkte mit gleichem
> Abstand zueinander zwischen a und b, und
> i=n, dann ist es b
Diesen Teil verstehe ich leider irgendwie nicht. Wieso ist bei 0 gleich a und bei n=1 gleich b ?
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Hallo Mathics,
> > Was ist
> > [mm]i\cdot{}\bruch{b-a}{n}+a[/mm] für [mm]i=0,\ldots n[/mm]?
> >
> > setzen wir ein: i=0, dann ist es a
> > [mm]i=1,\ldots,n-1[/mm] dann sind es n-1 Punkte mit gleichem
> > Abstand zueinander zwischen a und b, und
> > i=n, dann ist es b
>
> Diesen Teil verstehe ich leider irgendwie nicht. Wieso ist
> bei 0 gleich a und bei n=1 gleich b ?
Hier ist gemeint, für i=0 ist es gleich a, für i=n ist es gleich b.
[mm]i=0: \ 0* \bruch{b-a}{n}+a=a[/mm]
[mm]i=n: \ n * \bruch{b-a}{n}+a = b-a+a = b [/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Di 14.09.2010 | | Autor: | Mathics |
okey =)
aber ich verstehe immer noch nciht was "a" sein. Das komm doch auch bei meinem Beispiel mit [mm] f(x)=x^2 [/mm] vor , oder?
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Hallo Mathics,
> okey =)
>
> aber ich verstehe immer noch nciht was "a" sein. Das komm
> doch auch bei meinem Beispiel mit [mm]f(x)=x^2[/mm] vor , oder?
a ist die untere Intervallgrenze, b die obere Intervallgrenze.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Di 14.09.2010 | | Autor: | Mathics |
ja und kommt das bei meinem Beispiel mit [mm] f(x)=x^2 [/mm] vor? ich kanns irgendwie nicht finden :(
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Hallo Mathics,
> ja und kommt das bei meinem Beispiel mit [mm]f(x)=x^2[/mm] vor? ich
> kanns irgendwie nicht finden :(
In Deinem Beispiel mit [mm]f(x)=x^2[/mm] ist a=0 und b=2.
Daher auch [mm]\bruch{2-0}{n}=\bruch{2}{n}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Di 14.09.2010 | | Autor: | Mathics |
ok. ich habe also
$ [mm] O=\summe_{i=0}^{n-1}\bruch{b-a}{n}\cdot f\left(i\cdot{}\bruch{b-a}{n}+a\right) [/mm] $
wie berechne ich denn jetzt b und a; sprich die obere und untere Intervallgrenze?
a=0 und b=2 oder?
also: $ [mm] O=\summe_{i=0}^{n-1}\bruch{2}{n}\cdot f\left(i\cdot{}\bruch{2}{n}+0\right) [/mm] $
so oder?
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Hallo Mathics,
> ok. ich habe also
>
> [mm]O=\summe_{i=0}^{n-1}\bruch{b-a}{n}\cdot f\left(i\cdot{}\bruch{b-a}{n}+a\right)[/mm]
>
> wie berechne ich denn jetzt b und a; sprich die obere und
> untere Intervallgrenze?
>
> a=0 und b=2 oder?
Genau.
>
> also: [mm]O=\summe_{i=0}^{n-1}\bruch{2}{n}\cdot f\left(i\cdot{}\bruch{2}{n}+0\right)[/mm]
>
> so oder?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Di 14.09.2010 | | Autor: | Mathics |
ok. kannst du mir noch ebn erklären, wie diese Teil hier zustande kommt?
das verstehe ich noch nicht so ganz:
[mm] f\left(i\cdot{}\bruch{2}{n}+0\right) [/mm]
Danke.
Lg
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Hallo Mathics,
> ok. kannst du mir noch ebn erklären, wie diese Teil hier
> zustande kommt?
> das verstehe ich noch nicht so ganz:
>
> [mm]f\left(i\cdot{}\bruch{2}{n}+0\right)[/mm]
Das sind die Funktionswerte an den Zwischenstellen [mm]i*\bruch{2}{n}[/mm].
>
> Danke.
>
> Lg
>
Gruss
MathePower
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