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Hallo zusammen,
ok,bei folgender Aufgabe komme ich nicht weiter bzw finde keinen Ansatz.
Vielleicht kann mir hier jemand zu den ersten Schritten helfen.
Es soll gezeigt werden, dass [mm]U=\{x\in\IR^3 | x_1=x_2=x_3\}[/mm] ein Untervektorraum des Spalte-Vektorraumes [mm]\IR^3[/mm] ist.
Im Falle eines Untervektorraumes soll ein lineares Gleichungssystem angegeben werden, welches U als Lösung hat.
Ich bin dankbar für jeden Ansatz.
Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:14 So 23.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Fruchtsaft!
Du musst doch lediglich die Unterraumaxiome für die dir gegebene Menge nachweisen. Das ist doch schon der Ansatz. Du musst zeigen, dass $U$ bezüglich der Addition von Vektoren abgeschlossen ist, dass es bezüglich der Multiplikation mit Skalaren abgeschlossen ist, und dass der Nullvektor in $U$ liegt - mehr nicht. Wo liegt dein Problem?
Zur zweiten Frage musst dir auch nur ein Gleichungssystem in den Unbekannten [mm] $x_1,x_2,x_3$ [/mm] überlegen, welches als Lösung genau die Tripel $(x,x,x), [mm] x\in\IR$ [/mm] besitzt.
Los, ein wenig eigenen Einsatz wollen wir hier schon sehen!
Liebe Grüße,
Hanno
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Ganz so einfach ist es leider nicht für mich..
Ich habe mir schon Gedanken gemacht, so ist es nicht.. Aber na gut, ich poste einfach mal.
Es handelt sich um ein Untervektorraum des Spalten-Vektorraumes [mm]\IR^3[/mm] , weil U nicht leer ist.
[mm]x_1-x_2=0[/mm]
[mm]x_2-x_3=0[/mm]
q.e.d.
Gruss
Fruchtsaft
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 So 23.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Es handelt sich um ein Untervektorraum des
> Spalten-Vektorraumes [mm]\IR^3[/mm] , weil U nicht leer ist.
Ähem - das reicht natürlich nicht. Prüfe doch mal die UR-Axiome nach. Was sind sie? Alle drei nacheinander nachprüfen. Das ist nicht schwer - und das solltest du wirklich alleine amchen.
SEcki
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Reicht es also nicht nur ein Axiom zu beweisen?
Mit dem 2.Axiom sieht es bei mir so aus:
[mm] \vektor{x_1 \\x_2 \\x_3} + \vektor{a_1 \\a_2 \\a_3}[/mm]
Mit dem 3.Axiom sieht es bei mir so aus:
[mm] x \vektor{x_1 \\x_2 \\x_3} + a \vektor{a_1 \\a_2 \\a_3}[/mm]
[mm] \vektor{xx_1+aa_1 \\xx_2+aa_2 \\xx_3+aa_3}[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 So 23.10.2005 | | Autor: | taura |
Hallo Fruchtsaft!
> Reicht es also nicht nur ein Axiom zu beweisen?
Nein, um zu zeigen, dass etwas Untervektorraum ist, musst du alle drei Axiome zeigen.
> Mit dem 2.Axiom sieht es bei mir so aus:
> [mm]\vektor{x_1 \\x_2 \\x_3} + \vektor{a_1 \\a_2 \\a_3}[/mm]
> Da
> a=b=c ist, ist die Vorraussetzung erfüllt.
Warum sind a=b=c? Was willst du denn zeigen?
Du musst zwei beliebige Vektoren aus deiner Menge nehmen. Das heißt, zwei beliebige Vektoren, so dass alle drei Komponenten gleich sind. Also zum Beispiel [mm]\vektor{a \\ a \\ a}[/mm] und [mm]\vektor{b \\ b \\ b}[/mm] und sollst dann zeigen, dass deren Summe auch wieder in der Menge liegen. Wie sieht die Summe denn aus? Was gilt für die drei Komponenten?
> Mit dem 3.Axiom sieht es bei mir so aus:
> [mm]x \vektor{x_1 \\x_2 \\x_3} + a \vektor{a_1 \\a_2 \\a_3}[/mm]
>
> [mm]\vektor{xx_1+aa_1 \\xx_2+aa_2 \\xx_3+aa_3}[/mm]
Hier musst du wieder einen Vektor aus deiner Menge nehmen, und ihn mit einem Skalar multiplizieren, also
[mm]\alpha\vektor{a \\ a \\ a}[/mm]
Was kommt da raus? Liegt das in der Menge?
Gruß taura
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$ [mm] \vektor{x_1 \\x_2 \\x_3} [/mm] + [mm] \vektor{a_1 \\a_2 \\a_3} [/mm] $
Das zweite Axiom heisst doch, wenn u und v Vektoren in U sind, dann ist die Summe u+v ebenfalls in U.. Das lässt sich doch so auf das obige Gleichungsystem anwenden oder nicht?
$ [mm] \alpha\vektor{a \\ a \\ a} [/mm] $
Das dritte Axiom heisst doch, wenn [mm]\alpha[/mm] eine reelle Zahl und a ein Vektor in U ist, dann ist auch [mm]\alpha a[/mm] in U.
Das läasst sich doch auhc so anwenden auf meinen Fall, oder?
Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 So 23.10.2005 | | Autor: | taura |
Hallo Fruchtsaft!
> [mm]\vektor{x_1 \\x_2 \\x_3} + \vektor{a_1 \\a_2 \\a_3}[/mm]
Warum nennst du die Komponenten denn unterschiedlich? Sie sollen doch alle gleich sein!
> Das zweite Axiom heisst doch, wenn u und v Vektoren in U
> sind, dann ist die Summe u+v ebenfalls in U.. Das lässt
> sich doch so auf das obige Gleichungsystem anwenden oder
> nicht?
Dann wende es doch einfach mal an...
> [mm]\alpha\vektor{a \\ a \\ a}[/mm]
> Das dritte Axiom heisst doch,
> wenn [mm]\alpha[/mm] eine reelle Zahl und a ein Vektor in U ist,
> dann ist auch [mm]\alpha a[/mm] in U.
>
> Das läasst sich doch auhc so anwenden auf meinen Fall,
> oder?
Schreib doch einfach mal hin, was rauskommt! Dann sieht man doch schon, dass es stimmt...
Gruß taura
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Aber genau das habe ich ein paar Postings vorher schon gemacht..
Anders würde es jetzt auch nicht aussehen.
https://matheraum.de/read?i=99865
Aber was rechne ich jetzt noch weiter, um es endgültig bewiesen zu haben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 So 23.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Aber genau das habe ich ein paar Postings vorher schon
> gemacht..
Naja - dann musst du das aufschreiben mathemtaischer Beweise noch üben! Es stehen da einfach zwei Ausdrücke, die nach den Axiomen wahr sind - ganz unabhängig davon, waruas denn nun die a's und x's sind - die Bedingung, dass sie zu dieser Menge gehöhren, überprüfst du nicht. Und das kann bemängeln.
Du musst das ja noch als lineares Gleichungssystem realisieren: dafür ist es am besten sich eine Matrix zu basteln, die genau diese U als Kern hat. Ubnd dazu überlege dir: wie kann man möglchst einfach die drei Basisvektoren abbilden. Probiere mal eine zu basteln.
SEcki
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Wie beweise ich denn für mein Beispiel noch bzw überhaupt, dass sie zu dieser Menge gehören..
Und einen Matrix für dieses Beispiel geht mir ehrloch gesagt auch nicht ohne weiteres von der Hand..
Irgendwie hat es noch nciht so ganz *klick* gemacht, was die thematik betrifft.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Mo 24.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Fruchtsaft!
Also, zunächst mal zum Unterraum:
Hier ist fast gar nichts zu zeigen.
1) Zunächst ist klar, dass wegen $0=0=0$  [mm] $\pmat{0 \\ 0 \\ 0} \in [/mm] U$ gilt.
2) Sind [mm] $\pmat{x_1 \\ x_2 \\ x_3},\, \pmat{y_1 \\ y_2 \\ y_3} \in [/mm] U$, so gilt nach Voraussetzung
[mm] $x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] = [mm] x_3$ [/mm] und [mm] $y_1 [/mm] = [mm] y_2 [/mm] = [mm] y_3$.
[/mm]
Durch Addition der beiden "Doppelgleichungen" folgt:
[mm] $x_1 [/mm] + [mm] y_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] + [mm] y_2 [/mm] = [mm] x_3 [/mm] + [mm] y_3$,
[/mm]
also:
[mm] $\pmat{x_1 + y_1 \\ x_2 + y_2 \\ x_3 + y_3} [/mm] = [mm] \pmat{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] + [mm] \pmat{y_1 \\ y_2 \\ y_3 } \in [/mm] U$.
3) Es sei [mm] $\pmat{x_1 \\ x_2 \\ x_3} \in [/mm] U$ und [mm] $\lambda \in \IR$ [/mm] beliebig. Dann gilt nach Voraussetzung
[mm] $x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] = [mm] x_3$.
[/mm]
Durch Multiplikation dieser "Doppelgleichung" mit [mm] $\lambda$ [/mm] folgt:
[mm] $\lambda x_1 [/mm] = [mm] \lambda x_2 [/mm] = [mm] \lambda x_3$,
[/mm]
also:
[mm] $\pmat{ \lambda x_1 \\ \lambda x_2 \\ \lambda x_3 } [/mm] = [mm] \lambda \cdot \pmat{x_1 \\ x_2 \\ x_3} \in [/mm] U$.
Ein mögliches lineares Gleichungssystem mit $U$ als Lösungsraum ist etwa
[mm] $\pmat{2 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0} \cdot [/mm] x = 0$.
Wie kommt man darauf?
Es ist klar, dass die Matrix Rang $2$ haben muss, da der Löungsraum eindimensional ist. Also wählt man sich am besten eine Diagonalmatrix, deren letzte Zeile nur aus Nullen besteht.
Den Rest "sieht man dann". Du jetzt auch? 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 Mo 24.10.2005 | | Autor: | Fruchtsaft |
Danke dir, Stefan..
Und natürlich auhc allen anderen Helfern..
Dann habe ich ja schon richtig gedacht bei den Axiomen. Nur vielleicht nicht ganz so "sauber" hingeschrieben, wie Stefan.
Und ich habe mir shcon Gedanken gemacht?
Das mit der Matrix ist natürlich jetzt auch verstanden.
Ok, Danke nochmal
Gruss
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Ok, irgendwie hakt es doch noch.. :-(
$ [mm] U=\{x\in\IR^3 | x_1+x_2+x_3=0 oder X_1=x_2\} [/mm] $
(1) wegen 0+0+0=0 ist $ [mm] \pmat{0 \\ 0 \\ 0} \in [/mm] U $
oder 0=0 $ [mm] \pmat{0 \\ 0 } \in [/mm] U $
(2)Seien $ [mm] \pmat{x_1 \\ x_2 \\ x_3},\, \pmat{y_1 \\ y_2 \\ y_3} \in [/mm] U $
Wegen [mm] x_1+x_2+x_3=0 [/mm] und [mm] y_1+y_2+y_3=0 [/mm] gilt
Hier ist meine erste Unklarheit.. Schreibe ich jetzt
$ [mm] \pmat{x_1 + y_1 \\ x_2 + y_2 \\ x_3 + y_3} [/mm]
oder
$ [mm] \pmat{(x_1 + x_2+x_3) + (y_1+y_2+y_3) \\(x_1 + x_2+x_3) + (y_1+y_2+y_3) \\(x_1 + x_2+x_3) + (y_1+y_2+y_3)}
[/mm]
?
(3) Selbe Frage zunächst
Was für ein lineares Gleichungssystem bastel ich hier.. und wie ist das "oder" zu interpretieren in der Gleichung?
Danke
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Hi, und Danke für deine Hilfe!
> Ist das jetzt eine neue Aufgabe?
Ja, genau..
> > oder 0=0
> > [mm]\pmat{0 \\ 0 } \in U[/mm]
>
> ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") Was machst du da?
Muss ich bei den Axiomen nicht den zweiten Teil [mm]x_1 = x_2[/mm] beachten?
> [mm]\pmat{x_1 + y_1 \\ x_2 + y_2 \\ x_3 + y_3}[/mm]
>
> Ersteres. Und wegen [mm]x_1 + y_1 + x_2 + y_2 + x_3 + y_3=0[/mm]
> liegt dieser Vektor auch im Unterraum...
Ok, Danke.. Sprich im Grunde genommen unterscheidet sich diese Aufgabe nicht von der vorherigen Aufgabe in Bezug auf die Axiome..
> Zwar gilt [mm]\pmat{2 \\ -1 \\ -1} \in U[/mm] und [mm]\pmat{1 \\ 1 \\0} \in U[/mm],
> aber
Wieso ist das so? Wieso sind diese beiden Vektoren [mm] \in U[/mm]?
> [mm]\pmat{2 \\ - 1 \\ -1 } + \pmat{1 \\1 \\ 0} = \pmat{3 \\ 0 \\ -1} \notin U[/mm].
Ich habe doch in diesem Beispiel 3 Vektoren? Und des Weiteren verstehe ich nciht die Rolle des [mm]... oder x_1=x_2[/mm]
Wenn mir da jemand nochmal weiterhelfen könnte?
Danke
Gruss
Fruchtsaft
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:04 Do 27.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Fruchtsaft!
Die Aussage
[mm] $A=\{(x_1,x_2,x_3) \in \IR^3\, : \, x_1 + x_2 + x_3 = 0\quad \mbox{oder} \quad x_1 = x_2\}$
[/mm]
bedeutet, dass in der Menge alle [mm] $(x_1,x_2,x_3)$ [/mm] liegen, für die [mm] $x_1+x_2+x_3=0$ [/mm] oder [mm] $x_1=x_2$ [/mm] gilt.
Es kann, muss aber nicht beides zugleich gelten.
Sobald (mindestens!) eines der beiden Eigenschaften erfüllt ist, liegt das Element in dieser Menge.
Damit sollten sich all deine Fragen geklärt haben.
Liebe Grüße
Stefan
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
