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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:46 Di 31.01.2006 | | Autor: | Kuebi |
| Aufgabe | Sei V ein K-Vektorraum. Seien [mm] W_{1} [/mm] und [mm] W_{2} [/mm] Unterräume.
Zeigen Sie: [mm] W_{1} [/mm] und [mm] W_{2} [/mm] sind genau dann unabhängig, wenn gilt [mm] W_{1} \cap W_{2} [/mm] = {0}. |
Hallo ihr!
Diese Aufgabe steht im Raum.
Begonnen hab ich mal so:
[mm] "\Rightarrow"
[/mm]
Die Unterräume seien unabhängig. Somit: [mm] w_{1}+w_{2}=0 \Rightarrow w_{1} [/mm] = [mm] w_{2} [/mm] = 0.
Und schon hörts auf! Wie kann ich jetzt weitergehen und zeigen, dass diese beiden Räume im Durchschnitt nur die "Null" haben?
Für die andere Richtung habe ich einfach mit Kontraposition angesetzt. Sprich: Die Unterräume sind abhänging, d.h. die "Null" ist nichttrivial darstellbar. Und wieder die Frage, wie ich dann schließen, dass der Durchschnitt eben nicht leer ist.
Kann mir da jemand helfen?
Vielen Dank im Vorab! 
Vlg, Kübi
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Hallo Kübi, und hallo Freunde
linearer Räume und all dessen, was sich in ihnen so tummelt,
also ich nehme mal an, dass per definitionem zwei Unterräume [mm] W_1, W_2 [/mm] von V
linear unabhaengig heißen gdw für alle [mm] w_1\in W_1, w_2\in W_2 [/mm] aus [mm] w_1+w_2=0
[/mm]
schon [mm] w_1=w_2=0 [/mm] folgt.
[mm] (\Rightarrow [/mm] )
Seien [mm] W_1, W_2 [/mm] linear unabhängig. Zu zeigen: [mm] W_1\cap W_2=\{0\}.
[/mm]
Sei also [mm] w\in W_1\cap W_2, [/mm] dann ist auch -w [mm] \in W_1\cap W_2, [/mm] und
zweifelsohne ist w+ (-w) =0. Dann folgt aber nach def. der Lin.Unabh.,
dass w=-w=0. Dies zeigt [mm] W_1\cap W_2=\{0\}.
[/mm]
[mm] (\Leftarrow) [/mm]
Sei [mm] W_1\cap W_2=\{0\}, [/mm] und gelte v+w=0 mit [mm] v\in W_1 [/mm] und [mm] w\in W_2. [/mm] Zu zeigen: v=w=0.
Aber v+w=0 kann man doch umformen zu v=-w, und da [mm] W_1, W_2 [/mm] Unterräume sind,
folgt also aus [mm] v\in W_1 [/mm] auch [mm] w=-v\in W_1 [/mm] und analog [mm] v\in W_2. [/mm] Damit gilt also
[mm] v,w\in W_1\cap W_2 [/mm] und somit nach Voraussetzung v=w=0.
Gruss,
Mathias
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