Untervektorräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, habe mittlerweile so viele Möglichkeiten von Lösungen gefunden, dass ich irgendwie glaube, dass an meiner Vorgehenwseise etwas falsch sein muss.
Aufgabe: Sei k = [mm] \IF_{2}, [/mm] V = [mm] k^{3}. [/mm] Man soll alle Untervektorräume bestimmen und prüfen, welche diese Räume in welchem anderen Untervektorraum liegen.
Bei fogenden bin ich mir ziemlich sicher:
U1 = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}; [/mm] U2 = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, [/mm] 0; U3 = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, [/mm] 0; U4 = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}, [/mm] 0;
So jetz gibt es ja noch etliche 3 dimensionale mehr. Welche Kriterien muss ich nun beachten. Habe imm er auf lineare unabhängigkeit geprüft und komme auf insg. 16 Lösungen. Muss ich außer lin. unab. auch noch etwas anderes beachten? Vermutung: aus 2 vektoren mus der dritte gebildet werden können...?
MfG Bastian Unger
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Basti,
du kannst doch in einem dreidimensionalen Vektorraum nur einen Unterraum der Dimension drei haben.
Dein Vektorraum besteht außerdem nur aus acht Elementen.
Es gibt deshalb nur einen linearen UR der Dimension Null und sieben der Dimension 1.
Die Unterräume der Dimension 2 müssen auch sieben sein, weil du für jede Ebene einen Normalenvektor brauchst und dann gibt es den ganzen VR als UR mit Dimension 3.
Hugo
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Rookie84 |
Zur hilfe...
ich hocke nämlich an der selben aufgabe.
ich frage mich zu dem noch wie sich so ein Raum bsp. (2 der 2. dimension) zusammensetzt. Wie funktioniert die Dasrstellung? woran erkenne ich räume der 2. /1.dimension?
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Hallo ihr beiden,
ein eindimensionaler linearer Unterraum ist eine Gerade. Eine Gerade wird durch zwei Punkte definiert, bei einer Ursprungsgeraden ist naturgemäß einer davon der Ursprung. Dann bleiben noch 7 übrig, die ich als zweiten Punkt nehmen kann.
Wenn ihr überprüft, ob zwei der potentiellen Geraden gleich sind, werdet ihr feststellen, dass alle voneinander verschieden sind. (Insbesondere liegen auf jeder Geraden genau 2 Punkte, deswegen müssen alle voneinander verschieden sein.)
Weil euer Vektorraum dreidimensional ist, gibt es genausoviele ein- wie zweidimensionale Unterräume. Es besteht eine Bijektion zwischen den Ebenen und den dazu senkrechten Geraden. Es kann nicht weniger Ebenen als verschiedene Normalenvektoren geben. Andererseits kann es aber auch nicht weniger Normalenvektoren als Ebenen geben.
Also gibt es auch sieben (Ursprungs-)Ebenen.
Eine andere Rechenweise ist folgende:
Eine Ebene wird durch 3 Punkte, davon ist einer der Ursprung, festgelegt. Also gibt es zunächst [mm]\pmat{7\\2}=21[/mm] verschiedene Wahlen von Ebenenpunkten. Allerdings gibt es in einer Ebene vier Punkte, d.h. es gibt verschiedene Kombinationen, die dieselbe Ebene erzeugen. Es gibt zu jeder Ebene [mm]\pmat{3\\2}=3[/mm] Punktkombinationen. Diese Rechnung führt deshalb auch auf 7 Ebenen.
Hugo
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:12 Mi 10.11.2004 | | Autor: | nevinpol |
Hallo,
habe dasselbe Übungsblatt wie ihr beiden, glaube ich.
Nur habe ich mich erst jetzt dafür hinsetzen können.
(Schreibe am Freitag Vordiplom Technische Informatik, deswegen habe
die Zeit nicht gefunden für Mathe, so dass ich noch kein Übungsblatt abgeben konnte:(
Nun.. ich wollte eigentlich wissen wie man diese k-Untervektorräume bestimmt.
Vielen Dank
Liebe Grüsse
nevinpol
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 Do 11.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo nevinpol!
Wir wollen es jetzt mal anders machen und schreiben uns die Unterräume systemantisch auf.
Nulldimensionale Unterräume:
[mm] $U_1 [/mm] = 0 = [mm] \langle \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \rangle$
[/mm]
Eindimensionale Unterräume:
Diese werden aufgespannt von einem beliebigen, vom Nullvektor verschiedenen, Vektor (und enthalten dann auch nur diesen Vektor plus den Nullvektor):
[mm] $U_2 [/mm] = [mm] \langle \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \rangle$
[/mm]
[mm] $U_3 [/mm] = [mm] \langle \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rangle$
[/mm]
[mm] $U_4 [/mm] = [mm] \langle \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rangle$
[/mm]
[mm] $U_5 [/mm] = [mm] \langle \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rangle$
[/mm]
[mm] $U_6 [/mm] = [mm] \langle \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \rangle$
[/mm]
[mm] $U_7 [/mm] = [mm] \langle \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rangle$
[/mm]
[mm] $U_8 [/mm] = [mm] \langle \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \rangle$
[/mm]
Zweidimensionale Unterräume:
Diese werden aufgespannt von zwei beliebigen, vom Nullvektor verschiedenen, Vektoren, die nicht Vielfache voneinander sind unter Beachtung, dass man keine zwei Unterräume doppelt aufzählt:
[mm] $U_9 [/mm] = [mm] \langle \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rangle [/mm] = [mm] \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}$,
[/mm]
[mm] $U_{10} [/mm] = [mm] \langle \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rangle [/mm] = [mm] \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$,
[/mm]
[mm] $U_{11} [/mm] = [mm] \langle \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rangle [/mm] = [mm] \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$,
[/mm]
[mm] $U_{12} [/mm] = [mm] \langle \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \rangle [/mm] = [mm] \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$,
[/mm]
[mm] $U_{13} [/mm] = [mm] \langle \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \rangle [/mm] = [mm] \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$,
[/mm]
[mm] $U_{14} [/mm] = [mm] \langle \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \rangle [/mm] = [mm] \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}$,
[/mm]
[mm] $U_{15} [/mm] = [mm] \langle \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rangle [/mm] = [mm] \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}$,
[/mm]
Dreidimensionale Unterräume:
[mm] $U_{16} [/mm] = V = [mm] \IF_2^3$.
[/mm]
Allgemein kann man sich überlegen, dass es in [mm] $\IF_2^n$ [/mm] genau
[mm] $\prod\limits_{i=0}^{k-1} \frac{2^n-2^i}{2^k-2^i}$
[/mm]
$k$-dimensionale Unterräume gibt.
Überprüfe das doch mal für das obige Beispiel $(n=3)$.
Liebe Grüße
Julius
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