Untervektorräume(Addition,etc. < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Fr 04.12.2009 | | Autor: | SADlerin |
| Aufgabe | (a) Seien g und g2 zwei Geraden durch den Ursprung in [mm] R^2 [/mm] (damit sind g und g2 Untervektorräume von [mm] R^2). [/mm] Bestimmen sie g+g2 (in Abhängigkeit von g und g2)
(b) Seien g und g2 zwei Geraden durch den Ursprung in [mm] R^3 [/mm] (damit sind g und g2 Untervektorräume von [mm] R^3). [/mm] Beweisen Sie g+g2 [mm] \subseteq [/mm] (des = muss no zusätzlich durchgestrichen sein,weiß bloß ned wie ich des schreiben soll) [mm] R^3 [/mm] |
Hallo,
Hat irgendwer hier ne idee??Wie gehe ich hier vor???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:49 Fr 04.12.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo SADlerin,
> (a) Seien g und g2 zwei Geraden durch den Ursprung in [mm]R^2[/mm]
> (damit sind g und g2 Untervektorräume von [mm]R^2).[/mm] Bestimmen
> sie g+g2 (in Abhängigkeit von g und g2)
Unterscheide die Fälle
- $g$ und [mm] $g_2$ [/mm] sind parallel (also identisch)
- $g$ und [mm] $g_2$ [/mm] nicht parallel
Was gilt dann jeweils für die Richtungsvektoren der Geraden? Welche Punkte kannst du jeweis erreichen, wenn du Punkte auf den Geraden addierst?
> (b) Seien g und g2 zwei Geraden durch den Ursprung in [mm]R^3[/mm]
> (damit sind g und g2 Untervektorräume von [mm]R^3).[/mm] Beweisen
> Sie g+g2 [mm]\subseteq[/mm] (des = muss no zusätzlich
> durchgestrichen sein,weiß bloß ned wie ich des schreiben
> soll) [mm]R^3[/mm]
Gehe ähnlich vor wie in (a). Die Inklusion [mm] $g+g_2\subset\mathbb R^3$ [/mm] sollte klar sein (es sind ja UVR). Um [mm] $g+g_2\neq\mathbb R^3$ [/mm] zu zeigen, finde einen Punkt, der nicht in [mm] $g+g_2$ [/mm] liegt - d.h. finde Punkte, die sich nicht als Linearkombinationen der Richtungsvektoren von $g$ und [mm] $g_2$ [/mm] darstellen lassen.
Alternativ kannst du auch über die Dimension argumentieren: Welche Dimension haben die Geraden? Welche Dimension kann [mm] $g+g_2$ [/mm] haben?
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Di 08.12.2009 | | Autor: | SADlerin |
hy,
danke erst mal für den Denkanstoß.
ich hab mir mal folgendes Überlegt:
für a)
wenn g und g2 identisch,dann hat man nur die Gerade
wenn g und g2 parallel,dann is die Lsg ganz [mm] R^2
[/mm]
wenn g und g2 sich schneiden,dann ist die Lsg ein Punkt in [mm] R^2(stimmt [/mm] R^2hier???oda is des nur R??)
für b)
egal ob g ung 2 identisch,parallel oda sich schneiden,so ist ihre größte Dimension,welche sie annehmen können [mm] R^2, [/mm] daher
g+g2 [mm] \subset R^3 [/mm] aber [mm] =R^3 [/mm] wird nie erreicht(dazu bräuchte man Ebenen,welche parallel laufen(oda??) )
stimmt des so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 Di 08.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> hy,
> danke erst mal für den Denkanstoß.
> ich hab mir mal folgendes Überlegt:
> für a)
> wenn g und g2 identisch,dann hat man nur die Gerade
> wenn g und g2 parallel,dann is die Lsg ganz [mm]R^2[/mm]
> wenn g und g2 sich schneiden,dann ist die Lsg ein Punkt in
> [mm]R^2(stimmt[/mm] R^2hier???oda is des nur R??)
Gfrogt wor nach [mm] $g+g_2$ [/mm] ! Weiste denn wos dös hoast ? Wie dös definiert is ?
Gruß
FRED (oda ??) Ferdi
> für b)
> egal ob g ung 2 identisch,parallel oda sich schneiden,so
> ist ihre größte Dimension,welche sie annehmen können
> [mm]R^2,[/mm] daher
> g+g2 [mm]\subset R^3[/mm] aber [mm]=R^3[/mm] wird nie erreicht(dazu bräuchte
> man Ebenen,welche parallel laufen(oda??) )
>
>
> stimmt des so?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Di 08.12.2009 | | Autor: | SADlerin |
ja,mei ein Bayer^^
hmmm,eigentlich dacht
e ich mit meiner Fallunterscheidung g+g2 gemeint zu haben....seh ich hier grad was tierisch falsch???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Di 08.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> ja,mei ein Bayer^^
Na, a Schwob
>
> hmmm,eigentlich dacht
> e ich mit meiner Fallunterscheidung g+g2 gemeint zu
> haben....seh ich hier grad was tierisch falsch???
Schau nochmal nach: sind [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] Untervektorräume, wie ist dann [mm] U_1+U_2 [/mm] definiert ?
Fred(inand)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Di 08.12.2009 | | Autor: | SADlerin |
hmm,..
die Summe der Untervektorräume müsste so aussehn:
[mm] \{x+ x* | x,x*\in U/U* \}
[/mm]
Alle Vektorraumaxiome sind erfüllt,skalarmultiplikation geht,Vektoraddition auch.
aber was hilft mir des?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 Di 08.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> hmm,..
> die Summe der Untervektorräume müsste so aussehn:
> [mm]\{x+ x* | x,x*\in U/U* \}[/mm]
Was ist denn hier los ???
[mm] U_1+U_2 [/mm] = [mm] \{u_1+u_2: u_1 \in U_1, u_2 \in U_2 \}
[/mm]
FRED der Schwob
> Alle Vektorraumaxiome sind
> erfüllt,skalarmultiplikation geht,Vektoraddition auch.
> aber was hilft mir des?
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> hmm,..
> die Summe der Untervektorräume müsste so aussehn:
> [mm]\{x+ x^{\*} | x,x^{\*}\in U/U^{\*} \}[/mm]
[...]
> aber was hilft mir des?
Hallo,
wenn Du es so schön und verständlich wie in freds Antwort dastehen hast, hilft es schon, denn immerhin weißt Du dann, was mit [mm] g+g_2 [/mm] gemeint ist, was mir für die bearbeitung der Aufgabe nicht ganz unwesentlich erscheinen will.
Jetzt kannst Du nämlich anfangen:
sei g:= ...
[mm] g_2:=...
[/mm]
Dann ist [mm] g+g_2= [/mm] ...,
und nun könntest Du darüber nachdenken, was sich unter welchen Umständen hinter dieser Menge verbirgt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Di 08.12.2009 | | Autor: | SADlerin |
welche der beiden Summen stimmt den jetzt???so wie ich es geschrieben habe
> > [mm]\{x+ x^{\*} | x,x^{\*}\in U/U^{\*} \}[/mm]
> [...]
oda so wie fred es geschrieben hat????
naja,ich könnt schreiben
(g1+g1*)+(g2+g2*)+....+(gn+gn*)
das Ergebniss muss wieder in [mm] R^2 [/mm] sein,da Abgeschlossenheit vorliegt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Di 08.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> welche der beiden Summen stimmt den jetzt???so wie ich es
> geschrieben habe
> > > [mm]\{x+ x^{\*} | x,x^{\*}\in U/U^{\*} \}[/mm]
> > [...]
> oda so wie fred es geschrieben hat????
So wie ich es geschrieben habe, glaubs mir, ich bins , der FRED
> naja,ich könnt schreiben
> (g1+g1*)+(g2+g2*)+....+(gn+gn*)
> das Ergebniss muss wieder in [mm]R^2[/mm] sein,da Abgeschlossenheit
> vorliegt
Mein Gott, was soll man dazu sagen ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Di 08.12.2009 | | Autor: | SADlerin |
Sorry,wenn dir die Fragen dumm vorkommen oda meine versuche zu primitiv san,aber ich versuch hald des zu verstehen.Bzw würds gern erklärt bekommen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Di 08.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sorry,wenn dir die Fragen dumm vorkommen oda meine versuche
> zu primitiv san,aber ich versuch hald des zu verstehen.Bzw
> würds gern erklärt bekommen.
Hab ich doch:
$ [mm] U_1+U_2 [/mm] $ = $ [mm] \{u_1+u_2: u_1 \in U_1, u_2 \in U_2 \} [/mm] $
In Deiner Aufgabe ist [mm] U_1 [/mm] = g und [mm] U_2 [/mm] = [mm] g_2
[/mm]
Wenn die beiden Geraden identisch sind, dann ist [mm] U_1+U_2= U_1 \not= \IR^2
[/mm]
Wenn sie sich schneiden , die Geraden aber nicht identisch sind, so ist [mm] U_1+U_2 [/mm] = ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Di 08.12.2009 | | Autor: | SADlerin |
Ich glaub wir haben aneinander vorbei geredet:unsere Formeln waren immer gleich,nur unterschiedlich geschrieben^^
ja,wenn se gleich san(zusammenfallen)dann gilt [mm] \not= R^2 [/mm] weil es ja die gerade g1 bzw g2(sind ja gleich) ist.und die Gerade is dann ja nur in R.
so wenn se sich schneiden(nich identisch sind) dann gibt es meiner Meinung nach einen Schnittpunkt.und da sich Geraden nur einmal schneiden,muss dies der nullpunkt sein.
MOMENT: des is ja nur g1 [mm] \cap [/mm] g2....
hm,was in den fall is kann ich ned sagen.....
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> Ich glaub wir haben aneinander vorbei geredet:unsere
> Formeln waren immer gleich,nur unterschiedlich
> geschrieben^^
> ja,wenn se gleich san(zusammenfallen)dann gilt [mm]\not= R^2[/mm]
> weil es ja die gerade g1 bzw g2(sind ja gleich) ist.und die
> Gerade is dann ja nur in R.
>
> so wenn se sich schneiden(nich identisch sind) dann gibt es
> meiner Meinung nach einen Schnittpunkt.und da sich Geraden
> nur einmal schneiden,muss dies der nullpunkt sein. MOMENT:
> des is ja nur g1 [mm]\cap[/mm] g2....
> hm,was in den fall is kann ich ned sagen.....
Hallo,
es ist ziemlich schwer, hierauf sinnvoll zu antworten,
Laß uns die Sache mal anders angehen.
Die Aufgabe war:
" (a) Seien g und g2 zwei Geraden durch den Ursprung in $ [mm] R^2 [/mm] $ (damit sind g und g2 Untervektorräume von $ [mm] R^2). [/mm] $ Bestimmen sie g+g2 (in Abhängigkeit von g und g2)".
Wir machen das jetzt mal konkret. Mit Zahlenbeispielen.
Für die Lage zweier Geraden in der Ebene gibt es drei Möglichkeiten:
1. Sie schneiden sich
2. Sie sind parallel und identisch
3. Sie sind parallel und nichtidentisch.
Gib jetzt für jede der Lagebeziehungen konkrete Geraden [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 [/mm] an, die durch den Nullpunkt gehen.
Es wird in der Aufgabenstellung ja schon gesagt, daß diese geraden UVR des [mm] \IR^2 [/mm] sind. Eindimensionale, das ist ja klar.
Nenne jeweils eine Basis des Raumes [mm] g_1 [/mm] und des Raumes [mm] g_2.
[/mm]
Sage dann, wie [mm] g_1+g_2 [/mm] definiert ist.
Vielleicht kommen wir so weiter.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Mi 09.12.2009 | | Autor: | SADlerin |
Also,
nachdem ich eine Eingebung hatte komm ich etz drauf wie ich g und g2 darstellen kann:
g:
[mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{x \\ x2} [/mm] | x , x2 [mm] \varepsilon [/mm] g
g2:
[mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] + [mm] \mu \vektor{y \\ y2} [/mm] | y , y2 [mm] \varepsilon [/mm] g2
In [mm] R^2
[/mm]
so wenn die zusammen fallen,dann haben wir schon festgestellt, dass es die Gerade g bzw g2 in R is
wenn sie sich schneiden oder parallel sind,dann habe ich die gesamte Ebene [mm] R^2
[/mm]
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> Also,
> nachdem ich eine Eingebung hatte komm ich etz drauf wie
> ich g und g2 darstellen kann:
> g:
> [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{x \\ x2}[/mm] | x , x2
> [mm]\varepsilon[/mm] g
> g2:
> [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] + [mm]\mu \vektor{y \\ y2}[/mm] | y , y2
> [mm]\varepsilon[/mm] g2
> In [mm]R^2[/mm]
Hallo,
ja, die Eingebung war jetzt ganz gut.
Beachte aber: die Vektoren [mm] \vektor{x_1 \\ x_2} \vektor{y_1 \\ y_2} [/mm] sind Deine Richtungsvektoren, sie sind also fest.
Daher muß es heißen
[mm] g=\{\lambda \vektor{x_1 \\ x_2}| \lambda \in \IR\}
[/mm]
[mm] g_2=\{\mu \vektor{y_1 \\ y_2}| mu \in \IR\}.
[/mm]
Jetzt notiere ich, was [mm] g+g_2 [/mm] ist.
[mm] g+g_2=\{\lambda \vektor{x_1 \\ x_2}+\mu \vektor{y_1 \\ y_2}| \lambda, \mui \in \IR\}.
[/mm]
> so wenn die zusammen fallen,dann haben wir schon
> festgestellt, dass es die Gerade g bzw g2 in R is
Ja. Wenn [mm] g=g_2, [/mm] dann ist [mm] \vektor{x_1 \\ x_2}= [/mm] k* [mm] \vektor{y_1 \\ y_2},
[/mm]
und man hat [mm] a+g_2=\{\lambda \vektor{x_1 \\ x_2}+\mu *k\vektor{x_1 \\ x_2}|\lambda, \mu \in \IR\}=\{\lambda' \vektor{x_1 \\ x_2}|,\lambda'\in \RI\} [/mm] =g.
Oh! Ich müßte schon längst wieder weg sein - vielleicht versuchst Du's für die anderen beiden Fälle auch mal in diesem Stile. (Deine Überlegung für parallel und nicht identisch stimmte nicht. Wenn Du's richtig aufschreibst, dann merkst Du es. Lies Dir nochmal die Voraussetzungen durch...)
Gruß v. Angela
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