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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:42 Mo 05.11.2012 | | Autor: | Michi00 |
| Aufgabe 1 | Seien [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] Untervektorräume des [mm] \IK [/mm] -Vektorraums V. Zeigen Sie:
< [mm] U_{1} \cup U_{2}>=U_{1} [/mm] + [mm] U_{2} [/mm] |
| Aufgabe 2 | Sei C Eine Teilmene eines [mm] \IK [/mm] -Vektorraums V C minimal linear unabhängig. Zeige für zwei minimal linear abhängige Mengen gilt
(i) C [mm] \subseteq [/mm] C' so ist schon C = C'
(ii) ist C [mm] \not= [/mm] C' und C [mm] \cap [/mm] C' [mm] \not= [/mm] {}, so gibt es für jedes v [mm] \in [/mm] C [mm] \cap [/mm] C' eine minimal linear abhängige Menge C'' mit C'' [mm] \subseteq [/mm] (C [mm] \cup [/mm] C') \ {v} |
Hallo Matheraum,
Mein bisheriger Ansatz für 1:
[mm] \forall [/mm] w [mm] \in U_{1} [/mm] + [mm] U_{2} [/mm] gilt:
[mm] \lambda_{1}u_{1} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{n}u_{n} [/mm] + [mm] \lambda_{n+1}v_{1}+...+\lambda_{n+m}v_{m} [/mm] mit [mm] \lambda \in \IK, [/mm] u [mm] \in U_{1}, [/mm] v [mm] \in U_{2}
[/mm]
was nach definition ja gerade < [mm] U_{1} \cup U_{2}> [/mm] ist
das kommt mir etwas arg einfach vor und muss ich dann noch die rückrichtung zeigen?
Bei der Aufgabe 2 hab ich bisi hin und her probiert kam aber auf keinen grünen Zweig, es ist mir auch nich ganz klar warum das so sein muss zumindest der (ii) teil
Lg Michi
ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:52 Di 06.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Michi,
poste beim nächsten Mal am besten die beiden Aufgaben in verschiedenen Fragen, denn es handelt sich ja um völlig verschiedene Aufgaben. Dann sind auch deine Chancen auf schnelle Antworten höher.
> Mein bisheriger Ansatz für 1:
>
>
> [mm]\forall[/mm] w [mm]\in U_{1}[/mm] + [mm]U_{2}[/mm] gilt:
[mm] $w=u_1+u_2$ [/mm] für gewisse [mm] $u_1\in U_1$ [/mm] und [mm] $u_2\in U_2$.
[/mm]
> [mm]\lambda_{1}u_{1}[/mm] + ... + [mm]\lambda_{n}u_{n}[/mm] +
> [mm]\lambda_{n+1}v_{1}+...+\lambda_{n+m}v_{m}[/mm] mit [mm]\lambda \in \IK,[/mm]
> u [mm]\in U_{1},[/mm] v [mm]\in U_{2}[/mm]
> was nach definition ja gerade <
> [mm]U_{1} \cup U_{2}>[/mm] ist
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Du schreibst: "Es gilt: " und dann kommt ein Vektor anstelle einer Aussage. Und dann behauptest du, dass dieser Vektor die Definition einer Menge sei?
Vielleicht hast du sogar das Richtige verstanden, kannst es nur nicht korrekt aufschreiben.
Eure Definition von [mm] $$ [/mm] lautet vermutlich:
[mm] $=\{\lambda_1v_1+\ldots+\lambda_nv_n\;|\;n\in\IN_0,\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in K,v_1,\ldots,v_n\in U_1\cup U_2\}$.
[/mm]
Also gilt wegen [mm] $u_1,u_2\in U_1\cup U_2$: $w=u_1+u_2=1*u_1+1*u_2\in\ldots$
[/mm]
> das kommt mir etwas arg einfach vor und muss ich dann noch
> die rückrichtung zeigen?
Ja, dann ist noch [mm] $\subseteq U_1+U_2$ [/mm] zu zeigen.
> Bei der Aufgabe 2 hab ich bisi hin und her probiert kam
> aber auf keinen grünen Zweig, es ist mir auch nich ganz
> klar warum das so sein muss zumindest der (ii) teil
Wie habt ihr "minimal linear abhängig definiert"? Je nach Definition folgt (i) sofort aus der minimalen linearen Abhängigkeit von C' und der linearen Abhängigkeit von C.
(ii) ist nicht ganz einfach.
Überlege zunächst: Wenn [mm] $B\subseteq [/mm] V$ minimal linear abhängig ist, existieren [mm] $\lambda_v\in [/mm] K$ für alle [mm] $v\in [/mm] B$ mit
[mm] $\summe_{v\in B}\lambda_v*v=0$
[/mm]
mit [mm] ($\lambda_v=0$ [/mm] für fast alle [mm] $v\in [/mm] B$ und) [mm] $\lambda_v\not=0$ [/mm] für ALLE [mm] $v\in [/mm] B$.
Insbesondere muss B endlich sein.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:48 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Michi00 |
ein weiteres Mal vielen Dank.
Konnte es (hoffentlich richtig) lösen.
Und Entschuldigung für die Zwei verschiedenen Fragen, hatte ich irgendwie übersehn, dass man das nicht tun soll, auch wenns dick und fett da stand...
Lg Michi
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