Untervektorräume vom \IR³ < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich soll bestimmen, welche Teilmengen des [mm] \IR³ [/mm] Untervektorräume sind.
Ein Beispiel der Aufgabe [mm] A:=\{ x,y,z)|y+z=0\}.
[/mm]
Ich muss also prüfen,
- A [mm] \not= \emptyset
[/mm]
- x,y,z [mm] \in [/mm] A, [mm] \lambda \in [/mm] K
[mm] \lambda x\in [/mm] A und [mm] x+y+z\in [/mm] A
ich weiß nich wie ich da ran gehen soll. Also wie ich die oben genannten Dinge beweisen oder widerlegen soll.... :(
danke, *bussi*
Sandra
h habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:16 Fr 11.11.2005 | | Autor: | taura |
Hallo Sandra!
> Ein Beispiel der Aufgabe [mm]A:=\{ x,y,z)|y+z=0\}.[/mm]
Ich nenn das mal ein bisschen um, damit das gleich nicht so mißverständlich ist: [mm] $A:=\{(x_1,x_2,x_3)|x_2+x_3=0\}$ [/mm] In A sind also Vektoren des [mm] $\IR^3$, [/mm] die die Eigenschaft erfüllen, das die Summe aus zweiter und dritter Komponente 0 ist.
> Ich muss also prüfen,
> - A [mm]\not= \emptyset[/mm]
Was ist zum Beispiel mit den Nullvektor? Erfüllt er die Bedingung?
> - x,y,z [mm]\in[/mm] A, [mm]\lambda \in[/mm] K
> [mm]\lambda x\in[/mm] A und [mm]x+y+z\in[/mm] A
Naja, es reicht schon wenn du erstens zwei Vektoren x und y aus A nimmst, und zeigst, dass deren Summe die Bedingung wieder erfüllt:
[mm] $\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] + [mm] \vektor{y_1 \\ y_2 \\ y_3}= \vektor{x_1+y_1 \\ x_2+y_2 \\ x_3+y_3}$ [/mm] Wobei gilt dass [mm] $x_2+x_3=0$ [/mm] und [mm] $y_2+y_3=0$. [/mm] Was gilt dann für [mm] $x_2+y_2+x_3+y_3$? [/mm] Erfüllt die Summe die Bedingung?
Und zweitens musst du zeigen dass für ein beliebiges [mm] $\lambda \in \IR$ [/mm] (K ist hier ja [mm] $\IR$!) [/mm] und $x [mm] \in [/mm] A$ gilt:
[mm] $\lambda*\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}=\vektor{\lambda x_1 \\ \lambda x_2 \\ \lambda x_3}$ [/mm] erfüllt die Bedingung wieder.
Kommt du hiermit weiter? Sonst frag gern nochmal nach 
Gruß taura
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Hallo Taura,
also ich hatte nochmal selber nen paar Sachen ausprobiert, nur jetzt bin ich irgendwie verwirrt :D .
ich hatte mir auch zwei vektoren genommen und die dann addiert. Nur jetzt weiß ich nich mehr so recht was ich mit dem x anfangen soll, weil es ist ja nur bedingung für y und z angegeben. ich hatte dann x weg gelassen. nur ich hatte dann die vektoren vertrauscht das ich dann halt einfach (x+y)+(x´+y´)=0 hatte und dann folgt ja 0+0=0 also passt das, nur jetzt bin ich mir nicht mehr so sicher ob ich das machen kann.
und auch bei der multiplikation, ich meine, wenn [mm] \lambda [/mm] =0 ist passt es doch auch wieder oder?
das [mm] A\not= \emptyset [/mm] wie schreibe ich das, bzw sehe ich das?
danke, für die antwort!!
*bussi*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:16 So 13.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Sandra!
Wegen $0+0=0$ gilt: [mm] $\pmat{0 \\ 0 \\ 0} \in [/mm] A$.
Es seien nun [mm] $\pmat{x_1 \\ x_2 \\ x_3} \in [/mm] A$ und [mm] $\pmat{y_1 \\ y_2 \\ y_2} \in [/mm] A$. Dann ist zu zeigen, dass auch [mm] $\pmat{x_1 \\ x_2 \\x_3} [/mm] + [mm] \pmat{y_1 \\ y_2 \\ y_3} \in [/mm] A$ gilt.
Nach Voraussetzung gilt:
[mm] $x_2+x_3=0$ [/mm] und [mm] $y_2 [/mm] + [mm] y_3=0$.
[/mm]
Addiert man diese beiden Gleichungen, so sieht man:
[mm] $(x_2+y_2) [/mm] + [mm] (x_3+y_3)=0$,
[/mm]
also:
$ [mm] \pmat{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] + [mm] \pmat{y_1 \\y_2 \\ y_3} [/mm] = [mm] \pmat{x_1+y_1 \\ x_2 + y_2 \\ x_3 + y_3} \in [/mm] A$.
So, jetzt sein [mm] $\pmat{x_1 \\ x_2 \\ x_3} \in [/mm] A$ und [mm] $\lambda \in \IR$ [/mm] beliebig gewählt. Zu zeigen ist, dass auch
[mm] $\lambda \cdot \pmat{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] = [mm] \pmat{\lambda x_1 \\ \lambda x_2 \\ \lambda x_3} \in [/mm] A$
gilt.
Hast du eine Idee, wie man das jetzt machen könnte (Tipp: ähnlich wie oben)?
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:52 So 13.11.2005 | | Autor: | s.nahrhold |
Hallon Stefan,
danke für deine Antwort!!
Also A ist nich leer, weil der Vektor (0,0,0) drin liegt (richtig?).
Mit der Multiplikation, muss ich also das x1und y1 nicht betrachten, weil dafür keine bedingungen gegeben sind? oder wie bist du darauf gekommen das die Addition wieder in A liegt? So wie ich mir das gedacht hatte (in der letzten Frage beschrieben) war das nun falsch?Mir leutet das nich ein grad.
edit:
ich hab mir nochmal gedanken gemacht, weil ich hier eine aufgabe gefunden hab, die ähnlich war wie meine.
kann ich also (x1,x2,x3)+(y1,y2,y3)= (x1+y2,x2+y2,x3+y3) = (warum darf man das, wenn mans darf :)?) (x1+y1)+(x2+y2)+(x3+y3)= x1+y1+x2+y2+x3+y3= (x1+x2+x3)+(y1+y2+y3)=0
und wenn ich da jetzt anwende, das x2+x3=0 und y2+y3=0 hab ich (x1+0)+(y1+0)=0 und für x1,y1=0 stimmt die addition. richtig?
bei der Multiplikation setze ich an mit ( [mm] \lambda=l)
[/mm]
irgendwann hab ich l(x1+x2+x3)=0 da wieder x2+x3=0 gilt hab ich dann l(x1+0)=0 und wenn wieder x1=0 gilt, dann ist auch die multiplikation richtig.
oder muss ich x1 nicht betrachten weil dafür keine bedingungen angegeben sind und daher x1 alles annehmen kann was man will?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:15 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo s.nahrhold!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Gruß
Loddar
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