Untervektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Do 06.02.2014 | | Autor: | Nyuu |
| Aufgabe | In [mm] V=\IR^2 [/mm] betrachten wir die Teilmenge
[mm] W_2=\{(x_1,x_2)\in \IR^2: a_1x_1+a_2x_2=b\}
[/mm]
Zu Prüfen sind die Untervektorraum Bedingungen. |
Also das der UVR nicht leer ist, ist offensichtlich.
Prüfen muss ich noch die Abgeschlossenheit der Addition und der Multiplikation.
Für [mm] x,y\in W_2
[/mm]
ist
[mm] (x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(a_1x_1+a_2x_2) [/mm] + [mm] (a_1y_1+a_2y_2)=2b
[/mm]
= [mm] a_1(x_1+y_1)+a_2(x_2+y_2)=2b
[/mm]
Also ist die Addition für b=0 abgeschlossen, ansonsten nicht!
Multipkation
[mm] \lambda(x_1,x_2)= \lambda (a_1x_1+a_2x_2= \lambda [/mm] b
= [mm] \lambda a_1 x_1 [/mm] + [mm] \lambda a_2x_2 [/mm] = [mm] \lambda [/mm] b
Auch hier gilt die Multiplikation ist nur für b=0 abgeschlossen.
[mm] a_1*\lambda [/mm] ist ja wieder nur irgendwelche Skalare.
Was mich nur verwundert.
Darf ich das einfach so machen?
Ich meine müsste ich nicht normalerweise
[mm] (x_1,x_2)=a_1x_1+a_2x_2=b
[/mm]
[mm] (y_1,y_2)=z_1y_1+z_2y_2=b [/mm] haben ?
Dann könnte ich aber nichts damit anfangen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:03 Do 06.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> In [mm]V=\IR^2[/mm] betrachten wir die Teilmenge
>
> [mm]W_2=\{(x_1,x_2)\in \IR^2: a_1x_1+a_2x_2=b\}[/mm]
>
> Zu Prüfen sind die Untervektorraum Bedingungen.
> Also das der UVR nicht leer ist, ist offensichtlich.
>
> Prüfen muss ich noch die Abgeschlossenheit der Addition
> und der Multiplikation.
>
> Für [mm]x,y\in W_2[/mm]
>
> ist
>
> [mm](x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(a_1x_1+a_2x_2)[/mm] + [mm](a_1y_1+a_2y_2)=2b[/mm]
>
> = [mm]a_1(x_1+y_1)+a_2(x_2+y_2)=2b[/mm]
Was ist denn das ???? Links steht die Summe von 2 Vektoren, nach den "=" aber Zahlen !!! Grober Unfug !
Wegen [mm]a_1(x_1+y_1)+a_2(x_2+y_2)=2b[/mm] ist x+y [mm] \in W_2 [/mm] nur, falls b=0.
>
> Also ist die Addition für b=0 abgeschlossen, ansonsten
> nicht!
Ja
>
> Multipkation
>
> [mm]\lambda(x_1,x_2)= \lambda (a_1x_1+a_2x_2= \lambda[/mm] b
>
> = [mm]\lambda a_1 x_1[/mm] + [mm]\lambda a_2x_2[/mm] = [mm]\lambda[/mm] b
Gleicher Unfug wie oben.
>
> Auch hier gilt die Multiplikation ist nur für b=0
> abgeschlossen.
Ja
>
> [mm]a_1*\lambda[/mm] ist ja wieder nur irgendwelche Skalare.
Hä ????
>
> Was mich nur verwundert.
> Darf ich das einfach so machen?
Deine Fehler hab ich Dir genannt.
>
> Ich meine müsste ich nicht normalerweise
>
> [mm](x_1,x_2)=a_1x_1+a_2x_2=b[/mm]
>
> [mm](y_1,y_2)=z_1y_1+z_2y_2=b[/mm] haben ?
Unfug !
FRED
>
> Dann könnte ich aber nichts damit anfangen.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:05 So 09.02.2014 | | Autor: | Nyuu |
> > In [mm]V=\IR^2[/mm] betrachten wir die Teilmenge
> >
> > [mm]W_2=\{(x_1,x_2)\in \IR^2: a_1x_1+a_2x_2=b\}[/mm]
> >
> > Zu Prüfen sind die Untervektorraum Bedingungen.
> > Also das der UVR nicht leer ist, ist offensichtlich.
> >
> > Prüfen muss ich noch die Abgeschlossenheit der Addition
> > und der Multiplikation.
> >
> > Für [mm]x,y\in W_2[/mm]
> >
> > ist
> >
> > [mm](x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(a_1x_1+a_2x_2)[/mm] + [mm](a_1y_1+a_2y_2)=2b[/mm]
> >
> > = [mm]a_1(x_1+y_1)+a_2(x_2+y_2)=2b[/mm]
>
> Was ist denn das ???? Links steht die Summe von 2
> Vektoren, nach den "=" aber Zahlen !!! Grober Unfug !
Wer sagt denn das nach dem "=" nicht wieder ein Vektor steht? "b" kann doch durchaus ein Vektor sein.
Aber ich dachte auch [mm] a_1x_1+a_2x_2 [/mm] stellt eine Funktion darstellt.
Was ist denn nun falsch?
> Wegen [mm]a_1(x_1+y_1)+a_2(x_2+y_2)=2b[/mm] ist x+y [mm]\in W_2[/mm] nur,
> falls b=0.
>
>
> >
> > Also ist die Addition für b=0 abgeschlossen, ansonsten
> > nicht!
>
> Ja
>
>
> >
> > Multipkation
> >
> > [mm]\lambda(x_1,x_2)= \lambda (a_1x_1+a_2x_2= \lambda[/mm] b
> >
> > = [mm]\lambda a_1 x_1[/mm] + [mm]\lambda a_2x_2[/mm] = [mm]\lambda[/mm] b
>
> Gleicher Unfug wie oben.
>
>
> >
> > Auch hier gilt die Multiplikation ist nur für b=0
> > abgeschlossen.
>
> Ja
>
>
> >
> > [mm]a_1*\lambda[/mm] ist ja wieder nur irgendwelche Skalare.
>
> Hä ????
Naja ich dachte [mm] a_1 [/mm] wäre irgendeine Zahl. Also wäre auch [mm] a_1*\lamda [/mm] wieder irgendeine Zahl.
> > Was mich nur verwundert.
> > Darf ich das einfach so machen?
>
> Deine Fehler hab ich Dir genannt.
Ja das hast du. Allerdings konnte ich mit den Anmerkungen jetzt nicht ganz soviel anfangen. Offensichtlich habe ich ja etwas falsch verstanden, da wäre es nett gewesen zu erwähnen was ich falsch verstanden habe.
mfg.Nyuu
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> > > In [mm]V=\IR^2[/mm] betrachten wir die Teilmenge
> > >
> > > [mm]W_2=\{(x_1,x_2)\in \IR^2: a_1x_1+a_2x_2=b\}[/mm]
> > >
> > > Zu Prüfen sind die Untervektorraum Bedingungen.
Hallo,
der Aufgabentext ist unvollständig.
Irgendwo sollte einleitend noch stehen, daß [mm] a_1, a_2, b\in \IR [/mm] sind.
Ich glaube auch, daß Du den Arbeitsauftrag verkürzt wiedergegeben hast.
Steht da nicht vielleicht eher, daß Du prüfen sollst, ob es sich bei der Menge um einen Untervektorraum des [mm] \IR^2 [/mm] handelt?
Und womöglich sogar, daß zu prüfen ist, für welche [mm] a_1, a_2, [/mm] b es ein Unterraum ist?
Wir schauen uns jetzt erstmal die Menge [mm] W_2 [/mm] an, Ich glaube, Du hast sie überhaupt nicht verstanden.
In [mm] W_2 [/mm] sind Zahlenpaare des [mm] \IR^2.
[/mm]
Aber nicht alle, sondern nur die, die für (die fest vorgegebenen) Zahlen [mm] a_1, a_2, [/mm] b die Bedingung [mm] a_1x_1+a_2x_2=b [/mm] erfüllen.
> > > Also das der UVR nicht leer ist, ist
> offensichtlich.
Ja?
Für mich nicht.
Woran siehst Du, daß die Menge (bisher ist es bloß eine Menge!) nicht leer ist?
Mir ist das nicht klar. Versuche, mich zu überzeugen.
> > > Prüfen muss ich noch die Abgeschlossenheit der Addition
> > > und der Multiplikation.
Ja.
> > >
> > > Für [mm]x,y\in W_2[/mm]
> > >
> > > ist
> > >
> > > [mm](x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(a_1x_1+a_2x_2)[/mm] + [mm](a_1y_1+a_2y_2)=2b[/mm]
Das ist Blödsinn hoch 3.
Die Frage - die Du nicht mitgepostet hast - ist ja, ob es sich bei [mm] W_2 [/mm] um einen UVR des [mm] \IR^2 [/mm] handelt.
Daher ist nicht mit irgendwelchen ausgedachten Rechenoperationen herumzuwurschteln, sondern natürlich mit den einschlägig bekannten, mit denen der [mm] \IR^2 [/mm] ein VR ist.
Bei der Addition also mit der komponentenweisen Addition.
Was hast Du getan? Links addierst Du zwei Zahlenpaare, und rechts kommt eine reelle Zahl raus. Unfug.
Wir addieren jetzt mal richtig:
Seien [mm] (x_1, x_2), (y_1, y_2)\in W_2.
[/mm]
Dann haben diese Paare die Eigenschaft, daß [mm] a_1x_1+a_2x_2=b [/mm] und [mm] a_1y_1+a_2y_2=b.
[/mm]
Es ist nach der Def. der Addition im [mm] \IR^2
[/mm]
[mm] (x_1, x_2)+ (y_1, y_2)=(x_1+y_1, x_2+y_2).
[/mm]
Nun muß man entscheiden, ob dieses Paar in [mm] W_2 [/mm] liegt.
Woran erkennt man, ob ein Paar in [mm] W_2 [/mm] liegt?
Die Summe aus dem [mm] a_1-fachen [/mm] der ersten Komponente und dem [mm] a_2-fachen [/mm] dder zweiten Komponente ergibt b.
Und?
Jetzt versuche die Multiplikation mal alleine zu überwältigen.
Multipliziere [mm] (x_1, x_2) [/mm] nach den einschlägigen Regeln mit [mm] \lambda
[/mm]
und überlege Dir dann, woran Du erkennst, ob das entstandene Paar in [mm] W_2 [/mm] liegt.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Mo 10.02.2014 | | Autor: | Nyuu |
> > > > In [mm]V=\IR^2[/mm] betrachten wir die Teilmenge
> > > >
> > > > [mm]W_2=\{(x_1,x_2)\in \IR^2: a_1x_1+a_2x_2=b\}[/mm]
> > > >
> > > > Zu Prüfen sind die Untervektorraum Bedingungen.
>
> Hallo,
>
> der Aufgabentext ist unvollständig.
> Irgendwo sollte einleitend noch stehen, daß [mm]a_1, a_2, b\in \IR[/mm]
> sind.
>
> Ich glaube auch, daß Du den Arbeitsauftrag verkürzt
> wiedergegeben hast.
> Steht da nicht vielleicht eher, daß Du prüfen sollst, ob
> es sich bei der Menge um einen Untervektorraum des [mm]\IR^2[/mm]
> handelt?
> Und womöglich sogar, daß zu prüfen ist, für welche
> [mm]a_1, a_2,[/mm] b es ein Unterraum ist?
Mh naja die Aufgabe stand begleitend in meinem Buch. Und da stand es exakt so drin :/
> Wir schauen uns jetzt erstmal die Menge [mm]W_2[/mm] an, Ich glaube,
> Du hast sie überhaupt nicht verstanden.
> In [mm]W_2[/mm] sind Zahlenpaare des [mm]\IR^2.[/mm]
> Aber nicht alle, sondern nur die, die für (die fest
> vorgegebenen) Zahlen [mm]a_1, a_2,[/mm] b die Bedingung
> [mm]a_1x_1+a_2x_2=b[/mm] erfüllen.
>
>
> > > > Also das der UVR nicht leer ist, ist
> > offensichtlich.
>
> Ja?
> Für mich nicht.
> Woran siehst Du, daß die Menge (bisher ist es bloß eine
> Menge!) nicht leer ist?
> Mir ist das nicht klar. Versuche, mich zu überzeugen.
Naja, wenn die Menge ein UVR sein soll muss sie die Null enthalten, also
[mm] a_1*0+a_2*0=b
[/mm]
0=b
Daraus folgt dann ja auch, dass b=0 sein muss.
Wenn b=0 ist, dann ist die Null in der Menge enthalten also ist
[mm] W_2\not=0
[/mm]
> > > > Prüfen muss ich noch die Abgeschlossenheit der Addition
> > > > und der Multiplikation.
>
> Ja.
>
> > > >
> > > > Für [mm]x,y\in W_2[/mm]
> > > >
> > > > ist
> > > >
> > > > [mm](x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(a_1x_1+a_2x_2)[/mm] + [mm](a_1y_1+a_2y_2)=2b[/mm]
>
>
> Das ist Blödsinn hoch 3.
> Die Frage - die Du nicht mitgepostet hast - ist ja, ob es
> sich bei [mm]W_2[/mm] um einen UVR des [mm]\IR^2[/mm] handelt.
> Daher ist nicht mit irgendwelchen ausgedachten
> Rechenoperationen herumzuwurschteln, sondern natürlich mit
> den einschlägig bekannten, mit denen der [mm]\IR^2[/mm] ein VR
> ist.
> Bei der Addition also mit der komponentenweisen Addition.
> Was hast Du getan? Links addierst Du zwei Zahlenpaare, und
> rechts kommt eine reelle Zahl raus. Unfug.
>
>
> Wir addieren jetzt mal richtig:
>
> Seien [mm](x_1, x_2), (y_1, y_2)\in W_2.[/mm]
>
> Dann haben diese Paare die Eigenschaft, daß
> [mm]a_1x_1+a_2x_2=b[/mm] und [mm]a_1y_1+a_2y_2=b.[/mm]
>
> Es ist nach der Def. der Addition im [mm]\IR^2[/mm]
>
> [mm](x_1, x_2)+ (y_1, y_2)=(x_1+y_1, x_2+y_2).[/mm]
>
> Nun muß man entscheiden, ob dieses Paar in [mm]W_2[/mm] liegt.
>
> Woran erkennt man, ob ein Paar in [mm]W_2[/mm] liegt?
> Die Summe aus dem [mm]a_1-fachen[/mm] der ersten Komponente und dem
> [mm]a_2-fachen[/mm] dder zweiten Komponente ergibt b.
> Und?
okay, das wäre dann doch
[mm] a_1(x_1+y_1)+a_2(x_2+y_2)
[/mm]
[mm] =a_1x_1+a_1y_1+a_2x_2+a_2y_2
[/mm]
[mm] =a_1x_1+a_2x_2+a_1y_1+a_2y_2
[/mm]
=b+b
=2b
Für b=0 ist also [mm] $(x_1+y_1, x_2+y_2) \in W_2 [/mm] $
> Jetzt versuche die Multiplikation mal alleine zu
> überwältigen.
>
> Multipliziere [mm](x_1, x_2)[/mm] nach den einschlägigen Regeln mit
> [mm]\lambda[/mm]
> und überlege Dir dann, woran Du erkennst, ob das
> entstandene Paar in [mm]W_2[/mm] liegt.
zz. ist [mm] (\lambda x_1,\lambda x_2)\in W_2
[/mm]
[mm] a_1(\lambda x_1)+a_2(\lambda x_2)
[/mm]
= [mm] \lambda (a_1 x_1)+\lambda (a_2 x_2)
[/mm]
= [mm] \lambda [/mm] b
ist für b=0 in [mm] W_2 [/mm] enhalten
Stimmt das jetzt so?
> LG Angela
>
Lg. Nyuu :)
>
>
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> > > > > In [mm]V=\IR^2[/mm] betrachten wir die Teilmenge
> > > > >
> > > > > [mm]W_2=\{(x_1,x_2)\in \IR^2: a_1x_1+a_2x_2=b\}[/mm]
> > > > > Zu Prüfen sind die Untervektorraum Bedingungen.
>
> wenn die Menge ein UVR sein soll muss sie die Null
> enthalten,
Hallo,
das stimmt.
Steht das so in Euren Unterraumkriterien?
(Evtl. müßtest Du es sonst kurz begründen.)
> also
>
> [mm]a_1*0+a_2*0=b[/mm]
>
> 0=b
Wir lernen also: für [mm] b\not=0 [/mm] ist [mm] W_2 [/mm] kein UVR.
Sei nun im folgenden b=0.
> > Seien [mm](x_1, x_2), (y_1, y_2)\in W_2.[/mm]
> >
> > Dann haben diese Paare die Eigenschaft, daß
> > [mm]a_1x_1+a_2x_2=b[/mm] und [mm]a_1y_1+a_2y_2=b.[/mm]
> >
> > Es ist nach der Def. der Addition im [mm]\IR^2[/mm]
> >
> > [mm](x_1, x_2)+ (y_1, y_2)=(x_1+y_1, x_2+y_2).[/mm]
> >
> > Nun muß man entscheiden, ob dieses Paar in [mm]W_2[/mm] liegt.
> >
> > Woran erkennt man, ob ein Paar in [mm]W_2[/mm] liegt?
> > Die Summe aus dem [mm]a_1-fachen[/mm] der ersten Komponente und dem
> > [mm]a_2-fachen[/mm] dder zweiten Komponente ergibt b.
> > Und?
>
>
> okay, das wäre dann doch
>
> [mm]a_1(x_1+y_1)+a_2(x_2+y_2)[/mm]
>
> [mm]=a_1x_1+a_1y_1+a_2x_2+a_2y_2[/mm]
>
> [mm]=a_1x_1+a_2x_2+a_1y_1+a_2y_2[/mm]
>
> =b+b
>
> =2b
>
> Für b=0 ist also [mm](x_1+y_1, x_2+y_2) \in W_2[/mm]
Ja.
> zz. ist
für [mm] (x_1, x_2)\in \IR^2 [/mm] und [mm] \lambda\in \IR, [/mm] daß
[mm] \lambda (x_1, x_2)=
[/mm]
> [mm](\lambda x_1,\lambda x_2)\in W_2[/mm]
>
>
Es ist
> [mm]a_1(\lambda x_1)+a_2(\lambda x_2)[/mm]
>
> = [mm]\lambda (a_1 x_1)+\lambda (a_2 x_2)[/mm]
[mm] =\lambda (a_1 x_1+a_2 x_2)
[/mm]
>
> = [mm]\lambda[/mm] b
=0.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:21 Mo 10.02.2014 | | Autor: | Nyuu |
> > > > > > In [mm]V=\IR^2[/mm] betrachten wir die Teilmenge
> > > > > >
> > > > > > [mm]W_2=\{(x_1,x_2)\in \IR^2: a_1x_1+a_2x_2=b\}[/mm]
>
> > > > > > Zu Prüfen sind die Untervektorraum Bedingungen.
>
>
> >
> > wenn die Menge ein UVR sein soll muss sie die Null
> > enthalten,
>
> Hallo,
>
> das stimmt.
> Steht das so in Euren Unterraumkriterien?
> (Evtl. müßtest Du es sonst kurz begründen.)
Hey vielen dank.
Mh ich meine schon. Wir haben aber auch bewiesen, dass sich die Vektorraum Eigenschaften, direkt auf Unterräume übertragen.
Somit würde ja auch das bereits als Begründung ausreichen.
LG. Nyuu
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