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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:50 Mi 04.02.2015 | | Autor: | lukasana |
| Aufgabe | | [mm] V=\IR^2, v\in\IR^2, v\not=0. [/mm] Prüfe die Menge [mm] G:={x\in\IR^2: x=\alpha*v, \alphain\IR} [/mm] auf UVR von V. |
Hallo,
ich komme nicht ganz klar mit dem UVR-Kriterium. In der Vorlesung hatten wir gesagt, W ist ein UVR von V, wenn 1. W [mm] not=\emptyset, [/mm] 2. W [mm] \subset [/mm] V und 3. [mm] \forall \alpha\inK \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] w : [mm] x+\alpha [/mm] *y [mm] \in [/mm] W
1. Ist ja noch einfach zu beweisen, aber wie mache ich das bei 2. und 3.?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:02 Mi 04.02.2015 | | Autor: | huddel |
Hey Lukasana,
1. hast du ja schon gezeigt.
2. Gegeben hast du ja, dass für ein bestimmtes $v [mm] \in \mathbb{R}^2$ [/mm] $G = [mm] \lbrace \alpha \cdot [/mm] v: [mm] \alphe \in \mathbb{R} \rbrace$ [/mm] ist. Nun musst du nur zeigen, dass all diese [mm] $\alpha \cdot [/mm] v$ in [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] enthalten sind, da du als Grundvektorraum den $V = [mm] \mathbb{R}^2$ [/mm] gegebn hast.
3. du nimmst dir 2 Vektoren aus $ G $ her, sagen wir mal [mm] $v_1 [/mm] = [mm] \alpha_1 \cdot [/mm] v$ und [mm] $\v_2 [/mm] = [mm] \alpha_2 \cdot [/mm] v$ und ein beliebiges [mm] $\alpha \in \mathbb{R}$. [/mm] Zeigen musst du nun, dass [mm] $v_1 [/mm] + [mm] \alpha \cdot v_2$ [/mm] wieder in $ G $ liegt. Setz es einfach mal ein und guck was rauskommt und kannst es dann ja nochmal schreiben, wenn ich nochmal drüber gucken soll :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Mi 04.02.2015 | | Autor: | lukasana |
Ok für 2. sage ich also: [mm] \alpha [/mm] * [mm] \vektor{v1 \\ v2}= \vektor{\alpha v1 \\ \alpha v2} \in [/mm] W.
und für 3. [mm] \alpha1* \vektor{v1 \\ v2} [/mm] + [mm] \alpha2 *\vektor{w1 \\ w2}= \vektor{\alpha1*v1+ \alpha2*w1 \\ \alpha1 v2+ \alpha2*w2} \in [/mm] W.
Reicht das? Ich dachte man muss dann noch versuchen diesen Ausdruck mit $ G = [mm] \lbrace \alpha \cdot [/mm] v: [mm] \alphe \in \mathbb{R} \rbrace [/mm] $ darzustellen..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 Mi 04.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ok für 2. sage ich also: [mm]\alpha[/mm] * [mm]\vektor{v1 \\ v2}= \vektor{\alpha v1 \\ \alpha v2} \in[/mm]
> W.
Schlampig, kein Beweis, W=G ???
>
> und für 3. [mm]\alpha1* \vektor{v1 \\ v2}[/mm] + [mm]\alpha2 *\vektor{w1 \\ w2}= \vektor{\alpha1*v1+ \alpha2*w1 \\ \alpha1 v2+ \alpha2*w2} \in[/mm]
> W.
Schlampig, kein Beweis, W=G ???
>
>
> Reicht das?
Nie und nimmer !
> Ich dachte man muss dann noch versuchen diesen
> Ausdruck mit [mm]G = \lbrace \alpha \cdot v: \alphe \in \mathbb{R} \rbrace[/mm]
> darzustellen..
Nun stellen wir mal die Menge $G$ etwas weniger schlampig dar: mit festem $v [mm] \in \IR^2$ [/mm] ist
[mm] $G=\{\alpha*v: \alpha \in \IR\}.
[/mm]
Seien $x,y [mm] \in [/mm] G$ und [mm] $\beta \in \IR$.
[/mm]
Zu zeigen ist:
$x+y [mm] \in [/mm] G$ und [mm] $\beta*x \in [/mm] G$.
Es ex. $ [mm] \alpha_1, \alpha_2 \in \IR$ [/mm] mit [mm] $x=\alpha_1*v$ [/mm] und [mm] $y=\alpha_2*v$.
[/mm]
Dann ist
$x+y= [mm] \alpha_1*v+\alpha_2*v [/mm] = ..... [mm] \in [/mm] G$.
Was musst Du für .... eintragen ?
Weiter ist
[mm] $\beta*x [/mm] = ..... [mm] \in [/mm] G$.
Was musst Du für .... eintragen ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Mi 04.02.2015 | | Autor: | lukasana |
Ok wenn wir ein festes v wählen macht das ganze mehr Sinn. [mm] x+y=\alpha1 *v+\alpha2 *v=\vektor{(\alpha1+\alpha2)*v1 \\ (\alpha1+\alpha2)*v2}\in [/mm] G,da [mm] \alpha1+\alpha2 \in [/mm] IR.
Und [mm] \beta*x=\beta*\vektor{\alpha x1 \\ \alpha x2}= \vektor{\alpha*\beta*x1 \\ \alpha*\beta*x2}\in [/mm] G, da [mm] \alpha1*\alpha2 \in [/mm] IR.
Allerdings ist da ja immer noch nicht die Kombination von [mm] x+\alpha [/mm] y oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:08 Mi 04.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ok wenn wir ein festes v wählen macht das ganze mehr Sinn.
> [mm]x+y=\alpha1 *v+\alpha2 *v=\vektor{(\alpha1+\alpha2)*v1 \\ (\alpha1+\alpha2)*v2}\in[/mm]
> G,da [mm]\alpha1+\alpha2 \in[/mm] IR.
>
> Und [mm]\beta*x=\beta*\vektor{\alpha x1 \\ \alpha x2}= \vektor{\alpha*\beta*x1 \\ \alpha*\beta*x2}\in[/mm]
> G, da [mm]\alpha1*\alpha2 \in[/mm] IR.
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> Allerdings ist da ja immer noch nicht die Kombination von
> [mm]x+\alpha[/mm] y oder?
Doch, schau mal genau hin.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 Mi 04.02.2015 | | Autor: | lukasana |
Aber es muss noch gesagt werden, dass [mm] x+\beta y=\alpha1*v+\beta*(\alpha2*y)=\vektor{\alpha1*v1 \\ \alpha1*v2}+\vektor{\beta*\alpha2*y1 \\ \beta*\alpha2*y2}=... [/mm] ist oder?
Vielen Dank für ihre Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 Mi 04.02.2015 | | Autor: | huddel |
Das "Ihr" ist zwar nett, aber soweit ich das mitbekommen habe sind wir hier per "du" :)
In deiner Gleichung hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen. Da $y = [mm] \alpha_2 [/mm] v$ ist folgt:
$ [mm] x+\beta y=\alpha1\cdot{}v+\beta\cdot{}(\alpha2\cdot{}v)=\vektor{\alpha1\cdot{}v1 \\ \alpha1\cdot{}v2}+\vektor{\beta\cdot{}\alpha2\cdot{}v1 \\ \beta\cdot{}\alpha2\cdot{}v2}$
[/mm]
und damit hast du es ja schon fast. Was ist denn Das Ziel? Nutze einfach das, was du für $x+y$ schon gerechnet hast (siehe drei Posts weiter oben) und wende es nun auf die beiden Vektoren an, die du hier stehen hast :)
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