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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:11 Do 07.12.2006 | | Autor: | Warlock |
Hy an alle
Ich steh gerade bei der linearen Algebra teilweise komplett an.
Diesmal habe ich das Problem, dass ich nicht weiß wie ich beweisen kann, ob die Menge der Vektoren der Form [mm] \vektor{x1 \\ x2} [/mm] für die gilt x1 + x2 = 1 einen Unterraum des [mm] R^2 [/mm] bildet.
Mein Lösungsansatz:
Vektoren der Form [mm] \vektor{x1 \\ x2} [/mm] für die gilt x1 + x2 = 1 sind doch folgende Vektoren: [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] oder [mm] \vektor{0\\ 1}, [/mm] oder nicht? Diese gehen durch 0. Heißt das nicht das diese beiden Vektoren Unterräume des [mm] R^2 [/mm] sind?
Wenn ich jetzt z.b. den Vektor [mm] \vektor{-1\\ 2} [/mm] habe, für den natürlich auch gilt x1 + x2 =1, kann ich sagen, dass das kein Vektorunterraum ist, da der Vektor nicht durch 0 geht, oder?
der ja der Nullvektor ein Unterraum ist, ist doch auch [mm] \vektor{0\\ 0} [/mm] ein Unterraum des [mm] R^2 [/mm] , oder?
Stimmt das was ich da zusammengeschrieben habe oder ist das alles kompletter Schwachsinn?
mfg Chris
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Hallo warlock!
Was du geschrieben hast, stimmt teilweise ist aber nicht wirklich zielführend. Alle Vektoren, die du angegeben hast, gehören dem SELBEN Vektorraum an, nämlich [mm] U=\{x \in U: x_{1} + x_{2} = 1\}. [/mm] Wenn du zeigen willst, dass etwas ein Teilraum von einem Vektorraum ist, genügt es folgendes nachzuprüfen:
W ist TR von V, wenn folgendes gilt:
1) Der Nullvektor [mm] \in [/mm] W (in deinem Fall [mm] \vektor{0 \\ 0}) [/mm]
2) Die Addition u. Skalarmultiplikation führen nicht aus W hinaus, dh: u + [mm] \lambda [/mm] v [mm] \in [/mm] W (für u, v [mm] \in [/mm] W, [mm] \lambda \in [/mm] R (allgemein in K))
Ist diesen Regeln nach dein Beispiel ein TR des [mm] R^2? [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Do 07.12.2006 | | Autor: | Warlock |
Hy
Also sorry kann deine MAthematische Schreibweise nicht entziefern.
Also den Nullvektor habe ich nicht, könnte ihn zwar annehmen, aber das wäre ja nicht x1 + x2 = 1, oder?
Ist nicht die Menge der Vektoren in der Form [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] ein Unterraum des [mm] R^2?
[/mm]
Kannst du mir vielleicht deinen 2. Überprüfungspunkt mit dem Skalramultiplizieren und Addieren anhand dieses Beispieles erklären?
Versteh net ganz was du aufgeschrieben hast,
mfg chris
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Also machen wir halt dein Beispiel:
Prüfen wir also unsere beiden Bedingungen nach (ich nenn deinen TR jetzt mal U)
1) Liegt der Nullvektor in U? Natürlich nicht, denn 0 + 0 ist sicher nicht 1. Also müsstest du das zweite Axiom gar nicht nachrechnen. Dein Teilraum ist also kein Vektorraum!!
Lass uns 2) aber trotzdem nachrechnen:
2) Nehmen wir 2 beliebige Vektoren aus U. Sei [mm] u=\vektor{u_{1} \\ v_{2}}, [/mm] Sei [mm] v=\vektor{v_{1} \\ v_{2}}, [/mm] also schau ich mir an: u + [mm] \lambda [/mm] v
[mm] \Rightarrow \vektor{u_{1} \\ u_{2}} [/mm] + [mm] \lambda\vektor{v_{1} \\ v_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{u_{1}+\lambda v_{1} \\ u_{2} + \lambda v_{2}}. [/mm]
Jetzt musst du nur mehr schauen, ob [mm] (u_{1}+\lambda v_{1}) [/mm] + [mm] (u_{2}+\lambda v_{2}) [/mm] = 1 ist. Ist das der Fall?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Do 07.12.2006 | | Autor: | Warlock |
So habe jetzt für meinen TR folgende 2 Vektoren genommen.
u = [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] v= [mm] \vektor{0,5 \\ 0,5}
[/mm]
Dann hast du geschreiben, dass ich schauen soll ob $ [mm] (u_{1}+\lambda v_{1}) [/mm] $ + $ [mm] (u_{2}+\lambda v_{2}) [/mm] $ = 1 ist.
Ok das ist doch ein lineares Gleichungssystem oder?
Dan steht bei mir jetzt: ( 1+ 0,5v1 ) + ( 0 + 0,5v2 ) = 1 .......... stimmt das soweit?
Wenn ich das dann umforme habe ich 0,5v1 + 0,5v2 = 0
ISt das richtig oder habe ich da irgedneinen Plötzsinn gemacht?
mfg Chris
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Naja, prinzipiell geht das schon so irgendwie. Nur wenn du zeigen sollst, dass etwas gilt, bringt dir ein Beispiel, für das das gilt nicht weiter. In deinem Fall ist ja schon bekannt, dass es sich nicht um einen U-VR handelt - DANN (aber nur dann) gneügt ein Gegenbeispiel...
Wenn du kein Gegenbeispiel findest, musst du immer allgemein zeigen, dass es für alle Elemente aus U gilt... Und da müsstest du viele Beispiele zeigen...
Konnte ich dir helfen? Lg Kiki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 Do 07.12.2006 | | Autor: | Warlock |
Hy
So hab jetzt noch mal über alles nachgedacht un bin zu folgender Schlussfolgerung gekommen.
Ich habe zwar in meinen TR ( x1 + x2 = 1 ) keinen Nullvektor , aber für folgende TR folgendes Kriterium erfüllt:
[mm] \vektor{\lambda \\ 0}, [/mm] das ist z.b. [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] geht durch den Nullpunkt. Das ist dan ein Unterraum des [mm] R^2, [/mm] oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:08 Do 07.12.2006 | | Autor: | Kiki3000 |
Nein, denn es muss für den Nullvektor gelten, also [mm] \vektor{0 \\ 0}... [/mm] Da spielt es keine Rolle, ob [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] oder [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] durch den Nullpunkt geht... Wenn von 0 die Rede ist, ist immer [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] gemeint...
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:37 Sa 09.12.2006 | | Autor: | Warlock |
Hi
Bin jetzt total verwirrt. Mein Prof schreibt nämlich folgendes: Die Menge alle Tupel [mm] \vektor{ \lambda \\ 0} [/mm] ist ein Unterraum des [mm] R^2.
[/mm]
Ist z.b. [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] dann nicht ein Unterraum des [mm] R^2
[/mm]
[mm] R^2 [/mm] besitzt ja nur bei folgenden Bedingungen einen Unterraum:
Einen, der nur aus dem Nullvektor besteht.
Beliebe Gerade, die durch den Nullpunkt ( ist das auch [mm] \vektor{0 \\ 0}, [/mm] oder auch z.b. [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] ? )
Den gesamten [mm] R^2.
[/mm]
Das heißt, das die Menge der Vektoren der Form x1 + x2 =1 kein Unterraum von [mm] R^2 [/mm] ist, oder?
Könnt ihr mir vielleicht ein paar Vektoren aufschreiben, die ein Unterraum für [mm] R^2 [/mm] sind und Begründen warum? Danke im schonmal im voraus.
mfg und einen schönen Samstag
chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:41 Di 12.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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