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| Aufgabe | Zeigen sie dass
U = [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] mit x+y-z=0 ein Untervektorraum ist |
Mein problem ist dass ich nicht weis wie ich an die Sache rangehen soll. Das ich die beiden Unterrvektorraum kriterien prüfen muss ist mir klar, aber wie Prüfe ich das?
Mein Ansatz wäre bei der Addition ich nehme mir zwei Vektoren u1 und u2
Jetzt mache ich u1+u2 = [mm] \vektor{x1+x2 \\ y1+y2 \\ z1+z2}
[/mm]
Was dann ergibt => x1+x2 + y1+y2 -(z1+z2)
=> (x1+y1-z1)+(x2+y2-z2)
= 0
Lg
Ich habe diese Frage in einem Forum auf anderen Internetseiten gestellt aber keine für mich Verständliche Antwort bekommen.
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> Zeigen sie dass
> U = [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm] mit x+y-z=0 ein Untervektorraum
> ist
> Mein problem ist dass ich nicht weis wie ich an die Sache
> rangehen soll. Das ich die beiden Unterrvektorraum
> kriterien prüfen muss ist mir klar, aber wie Prüfe ich
> das?
>
> Mein Ansatz wäre bei der Addition ich nehme mir zwei
> Vektoren u1 und u2
>
> Jetzt mache ich u1+u2 = [mm]\vektor{x1+x2 \\ y1+y2 \\ z1+z2}[/mm]
>
> Was dann ergibt => x1+x2 + y1+y2 -(z1+z2)
> => (x1+y1-z1)+(x2+y2-z2)
> = 0
Hallo,
daß es darum geht zu zeigen, daß U ein Unterraum des [mm] \IR^3 [/mm] ist, und Du daher die Unterraumkriterien prüfen mußt, weißt Du. (Vergiß nie das nullte der Kriterien: U ist nichtleer!)
Du hast ja, um zu zeigen, daß die Summe zweier Elemente aus U wieder in U liegt, völlig richtig begonnen:
Seien [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 \in [/mm] U, dh. für [mm] u_i:=\vektor{x_i \\ y_i \\ z_i} [/mm] ist (*) [mm] x_i +y_i [/mm] + [mm] z_i=0, [/mm] i=1,2.
Es ist u1+u2 = [mm] \vektor{x1+x2 \\ y1+y2 \\ z1+z2}.
[/mm]
Um herauszufinden, ob dieser Vektor die Bedingungen, die für Vektoren aus U gelten müssen, erfüllt,
prüfst Du, ob die Summe der Komponenten wie gefordert 0 ergibt:
> x1+x2 + y1+y2 -(z1+z2)
> = (x1+y1-z1)+(x2+y2-z2)
Nun schau bei (*): beide Klammern sind =0, also
> = 0.
Und in demselben Stile mußt Du das nun für die Multiplikation mit einem Skalar durchführen.
Gruß v. Angela
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Erstmal danke für die schnelle Antwort :)
Das oben habe ich soweit verstanden!
In meiner Aufgabe heisst es jetzt weiter :
Geben Sie eine Basis von U an und erweitern sie dann diese Basis zu einer Basis von R³.
Um dass dann zu Lösen nehme ich mir doch dann die gegebene Gleichung also x+y-z = 0 und stelle folgendes LGS auf :
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Daraus kann ich dann ablesen:
[mm] <\vektor{-1 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1}>
[/mm]
Um diese Basis von U dann zu einer Basis von R³ zu erweitern muss ich nun nur noch einen Vektor zu dein beiden anderen finden der linear unabhängig zu den beiden anderen ist also z.B.
[mm] <\vektor{-1 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}>
[/mm]
Ich hoffe ich hab alles richtig verstanden :)
Lg Marry
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Hallo,
Du hast es richtig gemacht.
Gruß v. Angela
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